Exercícios Resolvidos de Interferência por Duas Fendas Pontuais

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Enunciado

Luz monocromática de comprimento de onda λ incide sobre uma fenda S como mostra a figura. Um espelho metálico plano está a uma distância h abaixo de S , muito menor que a separação entre a fenda e a tela, a qual vale L . Na tela, aparecem faixas claras e escuras pela interferência entre a onda que parte de S , atingindo a tela diretamente, e a onda da reflexão no espelho. Considere que, na reflexão, o feixe de luz ganha uma fase de π em relação ao feixe incidente.

Em função dos dados do enunciado, calcule o que se pede. NÃO substitua os valores das constantes fundamentais na resposta final de cada item.

a) Determine o valor do ângulo θ na figura se a distância entre o ponto P e O na tela vale y . Escreva sua resposta em função dos dados do problema e de y , na aproximação de pequenos ângulos ( s e n   θ ≈ θ ).

b) Determine os valores de λ para os quais resultam interferência DESTRUTIVA no ponto P . Escreve sua resposta em função dos dados do problema e de y .

Passo 1

Fala pessoal, beleza?

Nesse problema vamos simular a situação de uma fenda e um espelho esquecendo um pouco o espelho e imaginando uma segunda fenda simétrica a primeira. Mas essa discussão vai ficar para o item (b), o item (a) é bem facinho...

Queremos relacionar o ângulo θ com y . Para isso, consideramos o triângulo retângulo de catetos y e L , de modo que

tan ⁡ θ = y L

Aí usamos a aproximação de pequenos ângulos:

tan ⁡ θ ≈ s e n   θ ≈ θ

Com isso,

θ ≈ y L

Importante ressaltar que esse ângulo θ deve estar em radianos!

Passo 2

Já no item (b) vamos brincar com interferência. Queremos achar a defasagem entre os raios, sendo que um vai direto da fenda para a tela, enquanto o outro é refletido pelo espelho e depois chega na tela. Vamos supor que a diferença de caminho entre os dois raios é x . Com isso, a defasagem entre as ondas é dada por

Δ ϕ = k x + π

k x é a defasagem devido a diferença de caminho e π é a defasagem devido à reflexão no espelho. Vale lembrar que k = 2 π / λ é o número de onda, de modo que

Δ ϕ = 2 π λ x + π = π 2 x λ + 1

Para que a interferência seja destrutiva, a defasagem deve ser um múltiplo ímpar de π :

Δ ϕ = 2 m + 1 π

Assim,

2 m + 1 = 2 x λ + 1

Logo,

λ = x m

Passo 3

Mas quem é a diferença de caminho x ? Podemos imaginar que o raio refletido pelo espelho tenha saído de uma fenda “imaginária” que estava abaixo do espelho, no desenho representada por S ' . Com isso, a diferença de caminho passa a ser

x = d   s e n   θ ≈ d θ ≈ d y L

Observe que d = 2 h é a distância entre as fendas, de modo que

x = 2 h y L

Assim,

λ = 2 h y m L

Esses são os comprimentos de onda nos quais a interferência é destrutiva, como pediu o enunciado 😉.

Resposta

θ ≈ y L

λ = 2 h y m L

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