Exercícios Resolvidos de Interferência por Duas Fendas Pontuais

Ver Teoria

Enunciado

Uma onda eletromagnética plana e monocromática se propaga no vácuo tal que seu campo magnético está dado por B → = 1,0 ⋅ 10 - 6   s e n   A y + 2,7 ⋅ 10 15   t + π 2   x ^ , em unidade do SI e sendo A uma constante positiva.

a) Encontre o valor de A e o comprimento de onda dessa onda.

b) Determine o estado de polarização da onda.

c) Encontre a expressão para o vetor de Poynting em função do tempo, e a intensidade dessa onda.

Essa onda incide perpendicularmente sobre uma fenda dupla, com separação d = 5,6   μ m entre as fendas (e abertura desprezível). O padrão de interferência é observado em uma tela colocada a 2,0   m de distância.

d) Ache a diferença de fase entre os raios emergentes de cada fenda na posição y = 10   c m sobre a tela, medida a partir do eixo central. Essa posição em y está mais próxima de um máximo ou de um mínimo de interferência?

Passo 1

Eai galerinha, prontos para resolver uma questão de física 4?

Nos primeiros itens vamos trabalhar com uma onda eletromagnética plana! Mas antes de qualquer coisa, vamos lembrar que

s e n   θ + π 2 = s e n   θ cos ⁡ π 2 + s e n π 2 cos ⁡ θ = cos ⁡ θ

Portanto, podemos escrever o campo magnético como

B → = 1,0 ⋅ 10 - 6 cos ⁡ k y + ω t   x ^ ,

onde a frequência angular é ω = 2,7 ⋅ 10 15   s - 1 e A = k é o número de onda. Essa onda se propaga na direção negativa do eixo y , de modo que o vetor de Poynting deve apontar na direção - y ^ . Desta forma, o campo elétrico deve estar na direção z .

O item (a) é simples, queremos apenas achar k :

c = ω k → k = ω c

Usando c = 3 ⋅ 10 8   m / s para a velocidade da luz no vácuo, temos que

k = 2,7 ⋅ 10 15 3 ⋅ 10 8 = 0,9 ⋅ 10 7   m - 1

Portanto,

A = 9 ⋅ 10 6   m - 1

Para achar o comprimento de onda λ , nós usamos

k = 2 π λ → λ = 2 π k

Logo,

λ = 2 ⋅ 3,14 9 ⋅ 10 6 = 0,7 ⋅ 10 - 6   m

Ou ainda,

λ = 7 ⋅ 10 - 7   m

Passo 2

No item (b) queremos saber o estado de polarização da onda. Lembre-se que o estado de polarização está relacionado com o campo elétrico da onda. Portanto, nosso objetivo nesse item é achar E → e, para isso, vamos usar a última equação de Maxwell:

∇ × B → = μ 0   J → + 1 c 2 ∂ E → ∂ t

No vácuo J → = 0 → , de modo que

c 2   ∇ × B → = ∂ E → ∂ t

Primeiro calculamos o rotacional de B → :

∇ × B → = x ^ y ^ z ^ ∂ x ∂ y ∂ z B x B y B z

Como a única componente de B → está na direção x e ela só depende de y , temos que

∇ × B → = x ^ y ^ z ^ 0 ∂ y 0 B x 0 0 = - ∂ B x ∂ y   z ^

Como B x = 1,0 ⋅ 10 - 6 cos ⁡ k y + ω t , temos que

∂ B x ∂ y = - k ⋅ 1,0 ⋅ 10 - 6   s e n   k y + ω t

Logo,

∇ × B → = k ⋅ 1,0 ⋅ 10 - 6   s e n   k y + ω t   z ^

Portanto, usando a equação de Maxwell:

∂ E → ∂ t = c 2 k ⋅ 1,0 ⋅ 10 - 6   s e n   k y + ω t   z ^

Daí é só integral no tempo:

E → = c 2 k   z ^ ⋅ 1,0 ⋅ 10 - 6   ∫ s e n   k y + ω t   d t = - c 2 k ω 1,0 ⋅ 10 - 6 cos ⁡ k y + ω t   z ^

Como k ω = 1 c , temos que

E → = - c   1,0 ⋅ 10 - 6 cos ⁡ k y + ω t   z ^

Usando c = 3 ⋅ 10 8   m / s , achamos

E → = - 300 cos ⁡ k y + ω t   z ^

Como o campo elétrico oscila na direção z , a polarização dessa onda é linear e está na direção z ^ .

Passo 3

Agora vamos para o item (c)!

Queremos achar o vetor de Poynting:

S → = 1 μ 0 E → × B →

Primeiro vamos fazer o produto vetorial:

E → × B → = - 300 cos ⁡ k y + ω t   z ^ × 1,0 ⋅ 10 - 6 cos ⁡ k y + ω t   x ^

Como z ^ × x ^ = - y ^ :

E → × B → = - 3,0 ⋅ 10 - 4 cos 2 ⁡ k y + ω t   y ^

Vemos que ele aponta na direção - y ^ , como foi previsto no passo 1! Com isso,

S → = - 3,0 ⋅ 10 - 4 μ 0 cos 2 ⁡ k y + ω t   y ^

Usando μ 0 = 4 π ⋅ 10 - 7 em unidades do SI, temos

S → = - 3 4 π ⋅ 10 3 cos 2 ⁡ k y + ω t   y ^

S → = - 240 cos 2 ⁡ k y + ω t   y ^

Para achar a intensidade nós pegamos a média temporal do vetor de Poynting:

I = S = 240   cos 2 ⁡ k y + ω t

Como cos 2 ⁡ k y + ω t = 1 / 2 , temos que

I = 240 2 → I = 120   W / m 2

Passo 4

Para o último item o tema do problema muda um pouco. O tópico agora é interferência por fenda dupla!

Sabemos que a diferença de caminho entre os raios emergentes de cada fenda é

x = d   s e n   θ

Já a diferença de fase entre as ondas é dada por

Δ ϕ = k x = k d   s e n   θ

Como obter s e n   θ ? Nós sabemos que

tan ⁡ θ = c a t e t o   o p o s t o c a t e t o   a d j a c e n t e = y L

Usando a aproximação de ângulos pequenos:

s e n   θ ≈ tan ⁡ θ = y L

Portanto,

Δ ϕ = k d y L

Daí é só substituir os valores k = 9 ⋅ 10 6   m - 1 , d = 5,6 ⋅ 10 - 6   m , y = 10 ⋅ 10 - 2   m e L = 2,0   m :

Δ ϕ = 9 ⋅ 10 6 ⋅ 5,6 ⋅ 10 - 6 ⋅ 10 ⋅ 10 - 2 2 → Δ ϕ = 2,52   r a d

Passo 5

Para saber se a defasagem está mais próxima de um máximo ou um mínimo vamos escrever primeiro:

Δ ϕ = 2,52 ⋅ π 3,14 ≈ 0,8   π

Se a defasagem for mais próxima de 0 ou 2 π a interferência será mais próxima de ser construtiva. Porém nesse caso ela está mais próxima de π , de modo que ela está mais próxima de ser destrutiva! Portanto, esse ponto está mais próximo de um mínimo de interferência!

Com isso nós terminamos o problema 😉.

Resposta

A = 9 ⋅ 10 6   m - 1

λ = 7 ⋅ 10 - 7   m

E → = - 300 cos ⁡ k y + ω t   z ^ → polarização linear na direção z ^ .

S → = - 240 cos 2 ⁡ k y + ω t   y ^

I = 120   W / m 2

Δ ϕ = 2,52   r a d → próximo de um mínimo de interferência.

Exercícios de Livros Relacionados

Dois raios luminosos, inicialmente em fase e com um comprimento de onda de 500   n m , percorrem diferentes trajetórias sofrendo reflexões em espelhos planos, como mostra a Fig. 35...
Um experimento de dupla fenda produz franjas claras para a luz do sódio ( λ = 589   n m ) com uma separação angular de 0,30 ° perto do centro da figura de interferência. Qual é a s...
Um padrao de interferincia de fenda duplaeformado usando luz de laser monocromatica com comprimento de onda de 450 nm. Oque acontece com a distancia entre o primeiro maximo e o max...
Um padrao de interferencia de fenda duplaeformado usando luz de laser monocromatica com comprimento de onda de 640 nm.No primeiro minimo do maximo central,qual ea diferenca de cami...