03) Calcule cada limite, quando possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.

lim x →   + ∞ ⁡ x + x x + 1

Passo 1

Fala gente bonita do Responde Aí!

Quanta Raiz nessa questão hein? Até assusta um pouco. Mas vamos pensar com calma e destruir esse limite!

Como temos um quociente envolvendo expressões de x no numerador e denominador, vamos buscar colocar x em evidência de modo que as outras parcelas fiquem no máximo com a dependência inversamente proporcional de x . Tipo assim:

x + x x + 1 = x 1 + 1 x x 1 + 1 x = 1 + 1 x 1 + 1 x

Viu? Agora os únicos termos que dependem de x , têm uma dependência inversamente proporcional. Isso é massa, porque quando x → ∞ , esses termos vão zerar.

Passo 2

Bora aproveitar esse resultado legal que conseguimos e substituir dentro do limite:

lim x →   + ∞ ⁡ x + x x + 1 = lim x →   + ∞ ⁡ 1 + 1 x 1 + 1 x

Então, quando x →   + ∞ vamos ter que:

lim x →   + ∞ ⁡ 1 + 1 x 1 + 1 x = 1 + 0 1 + 0 = 1  

Prontinho 😊

Resposta

lim x →   + ∞ ⁡ x + x x + 1 = 1

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Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite e ilustre com um diagrama como o da Figura 9. lim x → 1 ⁡ 2 x + 3 = 5
Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite. lim x → 6 ⁡ x 4 + 3 = 9 2
Para o limite: lim x → 0 ⁡ e x - 1 x = 1 Ilustre a Definição 2 encontrando os valores de δ que correspondam a ε = 0,5 e ε = 0,1 .
Mostre por meio de um exemplo que lim x → a ⁡ f x + g ( x ) pode existir mesmo que nem lim x → a ⁡ f ( x ) nem lim x → a ⁡ g ( x ) existam.