Enunciado

Considere a função f cujo gráfico está representado abaixo. Determine o que se pede.

(a) O domínio de f .

(b) f ( 4 ) e o limite lim x → 4 ⁡ f ( x )

(c) f ( 2 ) e o limite lim x → 2 ⁡ f ( x )

(d) f ( 0 ) e o limite lim x → 0 ⁡ f ( x )

(e) f ( - 2 ) e o limite lim x → - 2 ⁡ f ( x )

(f ) f ( - 4 ) e o limite lim x → - 4 ⁡ f ( x )

(g) O que se pode dizer sobre a existência do limite nos pontos - 5 ,   - 1 ,   3,95   e   7 / 3 ?

Passo 1

Oi galera, beleza? Vamos resolver juntos?

Letra (a):

O domínio de uma função são os valores de x nos quais ela está definida. Pode tender ao infinito, mas ela existe!

Se você analisar essa função, ela tem alguns valores de x nos quais a função tende a menos infinito. Mas não quer dizer que ali ela não esteja definida.

O único ponto que está em aberto e que nesse ponto a função não tem uma definição é em x = - 4 .

Sendo assim, o domínio de f é:

( - ∞ ; - 4 ) U ( - 4 ; + ∞ )

Passo 2

Letra (b):

O limite de uma função é encontrado através dos limites laterais. Se a função tender para o mesmo valor tanto pela direita, quanto pela esquerda, então o limite existe e é o valor dos limites laterais (que vão ser iguais).

Já se os limites laterais forem diferentes significa que o limite da função naquele ponto não existe. Mas mesmo assim a função no ponto pode existir. É o valor onde a curva da com a “bolinha cheia” no gráfico.

Beleza?

Agora vamos aplicar isso aos diversos pontos do problema!

Primeiro em x → 4 . Dá uma olhada no gráfico:

Quando x tende a 4 pela esquerda, a função tende a - ∞ . Já quando nos aproximamos de 4 pela direita, a função tende a ≅ 3,5 . Então os limites laterais são diferentes e lim x → 4 ⁡ f ( x ) não existe.

Já o valor de f ( 4 ) ≅ 3,5 pois exatamente em x = 4 a bolinha está fechada e perto de 3,5 .

Passo 3

Letra c): f ( 2 ) e o limite lim x → 2 ⁡ f ( x ) . Olhando com mais carinho pro gráfico em torno desse ponto temos:

Quando x tende a 2 pela esquerda temos:

lim x → 2 - ⁡ f ( x ) = 2,5

E pela direita:

lim x → 2 + ⁡ f ( x ) = 4 , 5

Como os limites são diferentes, lim x → 2 ⁡ f ( x ) não existe.

E a bolinha fechada acontece em f 2 = 4,5 .

Beleza? Vamos seguir?

Passo 4

Letra (d): f ( 0 ) e o limite lim x → 0 ⁡ f ( x ) . Em torno desse ponto temos:

Embora seja por funções diferentes, os limites laterais tendem para um mesmo valor quando x → 0 . Então esse limite existe! E vale 4 !

lim x → 0 ⁡ f ( x ) = 4

E a bolinha fechada tbm está em y = 4 , então f 0 = 4 .

Passo 5

Letra (e): f ( - 2 ) e o limite lim x → - 2 ⁡ f ( x ) . De novo, vamos olhar o gráfico em torno de x = - 2 .

2 . Mas olhando pela esquerda, ela já não é uma reta e tende ao 4!

Então já vemos que os limites laterais não são iguais, então o limite nesse ponto não existe!

lim x → - 2 ⁡ f ( x ) = n ã o   e x i s t e

E a bolinha fechada? Ela está em f - 2 = 4 ! Então a função vale 4 nesse ponto.

Passo 6

Letra (f): f ( - 4 ) e o limite lim x → - 4 ⁡ f ( x ) . Agora vamos analisar a função em torno de - 4 !

Até agora foi o ponto mais comportado! Pelos dois lados a função tende pro mesmo valor! Tanto pela esquerda, quanto pela direita a função em - 4 tende a 3 ! Então o limite nesse ponto existe e vale:

lim x → - 4 ⁡ f ( x ) = 3

Maaaaaasss dá uma olhada na bolinha aberta! Isso significa que a função exatamente em x = - 4 não está definida! E digo isso porque se tivéssemos uma reta vertical imaginária em x = - 4 a função não tem uma bolinha fechada em nenhum lugar! Só ali ela não está definida!

Então:

f - 4 = n ã o   e x i s t e

Tranquilo?

Passo 7

Letra (g):

Agora a última letra:

g) O que se pode dizer sobre a existência do limite nos pontos - 5 ,   - 1 ,   3,95   e   7 / 3 ?

Uma coisa: 7 / 3 ≅ 2,3 .

Então queremos saber o comportamento da função em torno de x = - 5 ,   - 1 ,   3.95   e   2.3 . Olhando o gráfico (pela última vez, juro!)

Em todos esses pontos a função é contínua! Isso significa que tanto pela direita, quanto pela esquerda, a função tende ao mesmo ponto! E no ponto a função não tem um buraquinho! Então podemos dizer que nesses pontos o limite existe!

Ufa! Terminamos!

Espero ter ajudado!

Resposta

a ) ( - ∞ ; - 4 ) U ( - 4 ; + ∞ )

b )   lim x → 4 ⁡ f ( x ) não existe, f ( 4 ) ≅ 3,5

c ) lim x → 2 ⁡ f ( x )   n ã o   e x i s t e f 2 = 4,5

d ) lim x → 0 ⁡ f ( x ) = 4 ,   f 0 = 4

e ) lim x → - 2 ⁡ f ( x ) = n ã o   e x i s t e ;   f - 2 = 4

f ) lim x → - 4 ⁡ f ( x ) = 3 ; f - 4 = n ã o   e x i s t e

g )   l i m i t e   e x i s t e

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