Considere a função f : ℝ → ℝ   dada por

b) Calcule os seguintes limites, justificando suas respostas:

l i m x → 2 f ( x )

Passo 1

Oiiii pessoas lindas! Tudo bom?

Bom gente, a questão nos dá uma função que possui o domínio e imagem no conjunto dos números reais. E a função em questão é uma função definida por partes, ou seja, dependendo do intervalo a “cara” da nossa função pode mudar.

Calmaaaa!

Sendo assim, vemos que quando o x   ≥   2   a função será definida como f ( x )   = x ³ .

Já quando o x   <   2 a função terá o formato da seguinte função f ( x )   =   x ²   -   2 x   +   1 .

Passo 2

Mas, o que desejamos mesmo é saber qual é o limite de f ( x ) quando o x →   2 . Logo, devemos descobrir para onde essa função tende quando nos aproximamos do 2 de ambos os lados, ou seja, devemos descobrir se os limites laterais coincidem e se a função em questão é contínua. Caso um desses dois critérios não seja atendido declaramos que o limite da função não existe. Vamos lá!

Passo 3

Bom, a primeira coisa que verificamos é se a função f ( x ) é contínua. Pela definição matemática, uma função é contínua num ponto x   = a se:

l i m x → a f ( x )   =   f ( a )

Ok, essa relação é pra quando a função for contínua em um ponto certo? Aí você deve tá se perguntando então quando é que a função é completamente contínua? É quando essa regrinha é válida em todo o seu domínio, beleza?

Sendo assim, vemos que todos os pontos do domínio estão associados a um valor no contradomínio , dessa forma a nossa função é contínua.

Porém…

Passo 4

Mas é necessário verificar também se os limites laterais são iguais.

Bora?!

l i m x → 2 + f ( x )   =   x ³   =   2 ³   =   8

e

l i m x → 2 - f ( x )   =   x ²   - 2 x   +   1   =   2 ²   -   2 ⋅ 2   +   1   =   1  

Assim, l i m x → 2 + f ( x )   ≠   l i m x → 2 -

Portanto, o l i m x → 2 f ( x )   Não Existe!

Tudo beleza? Espero que sim!

Relaxa, daqui a pouco você já está expert nesse assunto.

:)

Resposta

l i m x → 2 f ( x )     Não Existe!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercícios de Livros Relacionados

Para o limite x 3 + x + 1 = 3 , use um gráfico para determinar o valor do δ correspondente a ε = 0,4 .Usando um sistema de computação algébrica para resolver a equação x 3 + x + 1 = 3 + ε , determine
Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite e ilustre com um diagrama como o da Figura 9. lim x → 1 ⁡ 2 x + 3 = 5
Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite. lim x → 6 ⁡ x 4 + 3 = 9 2
Para o limite: lim x → 0 ⁡ e x - 1 x = 1 Ilustre a Definição 2 encontrando os valores de δ que correspondam a ε = 0,5 e ε = 0,1 .
Mostre por meio de um exemplo que lim x → a ��� f x + g ( x ) ��� pode existir mesmo que nem lim x → a ⁡ f ( x ) nem lim x → a ⁡ g ( x ) existam.