Exercícios Resolvidos de Introdução aos Limites e suas Propriedades

UFF, Cálculo IA-Lista 5, GMA, 2008-1, Questão 1.

Calcule o limite, se possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.

lim x → - ∞ ( ⁡ x n - x n - 1 )  

Obs: considere n ∈ N

Passo 1

Pra fazer essa análise, primeiro vamos deixar essa função com uma cara mais fácil de trabalhar. Para isso vamos usar uma propriedade de multiplicação de potências.

Quando temos uma multiplicação de potências com a mesma base, a gente repete a base e soma os expoentes, como no exemplo abaixo:

x . x n - 1 = x 1 + n - 1 = x n

Agora vamos aplicar isso a nossa função:

x n - x n - 1 = ( x . x n - 1 - 1 . x n - 1 ) = x - 1 x n - 1

Note que transformamos que o x n em x . x n - 1 , e depois colocamos o x n - 1 em evidência.

Essa mudança é importante para a gente poder abrir o termo do limite da seguinte forma,

lim x → - ∞ ( ⁡ x n - x n - 1 )   = lim x → - ∞ ⁡ x - 1 x n - 1

Tendo ainda, pela propriedade do produto:

lim x → - ∞ ⁡ x - 1 x n - 1 = lim x → - ∞ ⁡ x - 1 lim x → - ∞ ⁡ x n - 1

Agora vamos analisar os limites por parte, começando pelo limite de x - 1 quando x → - ∞ . Neste caso, nós temos x tendendo a um número muuuuuuuuuito grande negativo. Então o esse limite irá para - ∞ .

lim x → - ∞ ⁡ x - 1 = - ∞

Para a segunda parte vamos ter que analisar os sinais dos “infinitos”.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos resolver a parte do lim x → - ∞ ⁡ x n - 1 .

Aqui o resultado dependerá do grau de n ser par ou ímpar. Então vamos achar um resultado para cada tipo de n . Não entendeu? Vem comigo!

Para n ímpar, teremos n - 1 par. Para facilitar a gente pode substituir por valores e verificar esse resultado. Exemplo:

n = 3 ⇒ x n - 1 =   x 3 - 1 = x 2

Relembrando um pouco sobre potências, todo número elevado a um número par terá um sinal positivo. Ou seja,

n   í m p a r ⇒ x n - 1 → + ∞       ,   s e   x → - ∞

Nesse caso, como temos x n - 1 como polinômio de grau par, fica:

lim x → - ∞ ( ⁡ x n - x n - 1 )   = lim x → - ∞ ⁡ x - 1 x n - 1

= lim x → - ∞ ⁡ x - 1 lim x → - ∞ ⁡ x n - 1 = - ∞ ∞

= - ∞

Repara que já calculamos o resultado de lim x → - ∞ ⁡ x - 1 no Passo 1. E o agora vimos que o lim x → - ∞ ⁡ x n - 1 =   + ∞ . Como infinito é um número muuuuuuuuito grande, essa multiplicação também será muuuuuuuuito grande, basta saber se ele será positivo ou negativo. Toda multiplicação de um número negativo por um positivo será um número negativo.

Passo 3

Para n par, teremos n - 1 ímpar. Para facilitar a gente pode substituir por valores e verificar esse resultado. Exemplo:

n = 4 ⇒ x n - 1 =   x 4 - 1 = x 3

Agora o expoente é impar, então o resultado terá o mesmo sinal da base. Ou seja,

n   p a r ⇒ x n - 1 → - ∞       ,   s e   x → - ∞

Nesse caso, como temos x n - 1 como polinômio de grau ímpar, fica:

lim x → - ∞ ( ⁡ x n - x n - 1 )   = lim x → - ∞ ⁡ x - 1 x n - 1

= lim x → - ∞ ⁡ x - 1 lim x → - ∞ ⁡ x n - 1 = - ∞ - ∞

= + ∞

Repara que o sinal mudou e agora o lim x → - ∞ ⁡ x n - 1 é igual a - ∞ . E toda multiplicação de um número negativo por outro número negativo será um número positivo.

Passo 4

Agora vamos fazer a análise para n = 0 . Repara,

lim x → - ∞ ( ⁡ x 0 - x 0 - 1 ) = lim x → - ∞ ⁡ 1 - 1 x

= 1 - 0 = 1

Resposta

n   í m p a r   ;   lim x → - ∞ ( ⁡ x n - x n - 1 )   = - ∞

n   p a r   ;   lim x → - ∞ ( ⁡ x n - x n - 1 )   = ∞

n = 0   ;   lim x → - ∞ ( ⁡ x n - x n - 1 )   = 1

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