07) Calcule cada limite, quando possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.

lim x → 1 ⁡ x 100 - 2 x + 1 x 50 - 2 x + 1

Passo 1

Oii gente, tudo certinho com vocês?

Como queremos o limite dessa função quando x → 1 precisamos iniciar fazendo x = 1 dentro da expressão. Daí vem que:

lim x → 1 ⁡ x 100 - 2 x + 1 x 50 - 2 x + 1 = 0 0

Nossa, que surpresa. Outra indeterminação matemática ☹

Passo 2

Como o limite nesse caso é o quociente de dois polinômios, nos quais x = 1 é raiz, podemos tentar fatorar esses polinômios:

x 100 - 2 x + 1 = ( x - 1 ) ( x 99 + x 98 + x 97 + … + x 3 + x 2 + x - 1 )

x 50 - 2 x + 1 = ( x - 1 ) ( x 49 + x 48 + x 47 + … + x 2 + x - 1 )

Fazendo o quociente, podemos cancelar o termo que causa a indeterminação 😊

x 100 - 2 x + 1 x 50 - 2 x + 1 = x 99 + x 98 + x 97 + … + x 3 + x 2 + x - 1 x 49 + x 48 + x 47 + … + x 2 + x - 1

Passo 3

Agora que removemos a indeterminação matemática, podemos aplicar o limite:

lim x → 1 ⁡ x 100 - 2 x + 1 x 50 - 2 x + 1 = lim x → 1 ⁡ x 99 + x 98 + x 97 + … + x 3 + x 2 + x - 1 x 49 + x 48 + x 47 + … + x 2 + x - 1

Fazendo x = 1 , vamos ter:

lim x → 1 ⁡ x 99 + x 98 + x 97 + … + x 3 + x 2 + x - 1 x 49 + x 48 + x 47 + … + x 2 + x - 1 = 99 - 1 49 - 1 = 49 24

Prontinho 😊

Resposta

lim x → 1 ⁡ x 100 - 2 x + 1 x 50 - 2 x + 1 = 49 24

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Para o limite x 3 + x + 1 = 3 , use um gráfico para determinar o valor do δ correspondente a ε = 0,4 .Usando um sistema de computação algébrica para resolver a equação x 3 + x + 1 = 3 + ε , determine
Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite e ilustre com um diagrama como o da Figura 9. lim x → 1 ⁡ 2 x + 3 = 5
Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite. lim x → 6 ⁡ x 4 + 3 = 9 2
Para o limite: lim x → 0 ⁡ e x - 1 x = 1 Ilustre a Definição 2 encontrando os valores de δ que correspondam a ε = 0,5 e ε = 0,1 .
Mostre por meio de um exemplo que lim x → a ��� f x + g ( x ) ��� pode existir mesmo que nem lim x → a ⁡ f ( x ) nem lim x → a ⁡ g ( x ) existam.