O gráfico de uma função f : R ⟶ R está esboçado a seguir

Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

  1. lim x ⟶ ∞ ⁡ f x = 6
  2. lim x ⟶ - 1 ⁡ f x = 6
  3. f - 1 = 0
  4. f 0 = 6
  5. lim x ⟶ 1 ⁡ f x não existe
  6. lim x ⟶ 0 ⁡ f x = 10

Não é necessário justificativa.

Passo 1

Pessoal, vamos analisar esse gráfico juntos, afirmativa por afirmativa e vamos ver como é tranquilo. Começando pela letra “a”:

lim x ⟶ ∞ ⁡ f x = 6

Essa afirmação diz que quanto mais eu aumento o x , eu tendo a me aproximar do valor y = 6 , vamos olhar para o gráfico:

Veja que na verdade, nós estamos nos aproximando da linha que representa y = 1 , então essa afirmativa está INCORRETA!

Passo 2

A letra “b” diz o seguinte:

lim x ⟶ - 1 ⁡ f x = 6

Ou seja, essa opção afirma que quando nos aproximamos de x = - 1 pela esquerda e pela direita, nós encontramos o valor igual a 6 .

Vamos começar olhando de quem se aproxima de - 1 pela esquerda, ou seja, valores menores que - 1 :

Vemos que por esse pedacinho, quanto mais nos aproximamos de x = - 1 , encontramos y = 0 . Como isso é diferente do limite que esperávamos de 6 :

lim x ⟶ - 1 - ⁡ f x = 0 ≠ 6

Como o limite pela esquerda já é diferente de 6, nem precisamos calcular o limite pela direita. Mas pra você saber, quando nos aproximamos do x = - 1 pela direita, ou seja, pelos valores maiores que -1, chegamos perto do y = 6 .

lim x ⟶ - 1 + ⁡ f x = 6

Mas não importa. Como o limite pela esquerda não é 6, já podemos dizer que a afirmativa é INCORRETA!

Passo 3

Não desanima não, vamos ver a letra “c”:

f - 1 = 0

Ele só está dizendo que y = 0 quando x = - 1 , vamos olhar no gráfico:

Não deixe as bolinhas te enganarem, apesar da função ir crescendo em direção a y = 0 , quando x vai se aproximando de - 1 , percebe que temos uma bolinha aberta (branquinha por dentro)? Isso quer dizer que a função não passa nesse ponto.

E onde temos uma bolinha fechada no x = - 1 ? Isso mesmo, em y = 6 , ou seja:

f - 1 = 6

Então essa afirmativa é INCORRETA!

Passo 4

Até agora não encontramos a nossa afirmativa verdadeira, vamos então investigar a letra “d”:

f 0 = 6

Mesma coisa que fizemos na afirmativa anterior, investigar onde a bolinha está fechada no nosso gráfico para x = 0 :

Veja que quando estamos no ponto x = 0 , o gráfico está com uma bolinha aberta em y = 6 e uma bolinha fechada em x = 10 , isso indica que:

f 0 = 10

E essa afirmativa está INCORRETA!

Passo 5

Nossa penúltima alternativa, a letra “e” afirma:

lim x ⟶ 1 ⁡ f x não existe

Atenção! Para que o limite em um ponto exista, precisamos que ele seja igual pela direita e pela esquerda! Se afirmativa diz que o limite não existe, ela está dizendo que os limites são diferentes pela esquerda e pela direita. Vamos ver se isso é verdade!

Nos aproximando por valores menores que 1, ou seja, pela esquerda, encontramos valores que tendem a 6.

Mas perceba que se aproximamos por valores maiores que x = 1 , os valores da função tendem a 10.

Então os limites laterais são diferentes!

lim x ⟶ 1 - ⁡ f x = 6 ≠ lim x ⟶ 1 + ⁡ f x = 10

Logo, o limite em x = 1 realmente não existe. Essa afirmativa está CORRETA!

Resposta

Letra “e”

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Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite. lim x → 6 ⁡ x 4 + 3 = 9 2
Para o limite: lim x → 0 ⁡ e x - 1 x = 1 Ilustre a Definição 2 encontrando os valores de δ que correspondam a ε = 0,5 e ε = 0,1 .
Mostre por meio de um exemplo que lim x → a ��� f x + g ( x ) ��� pode existir mesmo que nem lim x → a ⁡ f ( x ) nem lim x → a ⁡ g ( x ) existam.