1. Calcule o limite, se existir

c. lim x → 3 ⁡ x 2 - 9 x 2 + x - 12

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos um limite para resolver,

lim x → 3 ⁡ x 2 - 9 x 2 + x - 12

A gente sempre começa substituindo o valor na função, fica assim:

lim x → 3 ⁡ x 2 - 9 x 2 + x - 12 = 3 2 - 9 3 2 + 3 - 12 = 0 0

Eitaaa, caímos numa indeterminação do tipo 0 0 .

Bora sair dessa!

Passo 2

Para sair dessa indeterminação, vamos reescrever essa função! Começando pelo numerador.

Lembra de produto notável? Ele diz isso aqui:

a 2 - b 2 = a + b a - b

E repara que temos uma função parecida no nosso numerador, onde a = x e b = 3 . Então podemos escrever assim:

x 2 - 9 = x + 3 x - 3

Agora vamos para o denominador!

Passo 3

No denominador temos uma equação de segundo grau. E para esse caso temos essa relação aqui:

a x 2 + b x + c = a x - x 1 x - x 2

Onde x 1 e x 2 são as raízes da equação.

Resolvendo,

x 2 + x - 12 = 0

x = - 1 ± 1 2 - 4 1 - 12 2 1

Deste modo,

x 1 = - 4

x 2 = + 3

Sendo assim,

x 2 + x - 12 = x + 4 ( x - 3 )

Agora vamos voltar para o nosso limite!

Passo 4

Reescrevendo tudo, ficamos com

lim x → 3 ⁡ x 2 - 9 x 2 + x - 12 = lim x → 3 ⁡ x + 3 x - 3 x + 4 ( x - 3 )

Simplificando o x - 3 , ficamos com

= lim x → 3 ⁡ x + 3 x - 4

Calculando,

= lim x → 3 ⁡ x + 3 x + 4 = 3 + 3 ( 3 + 4 ) = 6 7

Prontinho

Resposta

6 7

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Para o limite x 3 + x + 1 = 3 , use um gráfico para determinar o valor do δ correspondente a ε = 0,4 .Usando um sistema de computação algébrica para resolver a equação x 3 + x + 1 = 3 + ε , determine
Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite e ilustre com um diagrama como o da Figura 9. lim x → 1 ⁡ 2 x + 3 = 5
Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite. lim x → 6 ⁡ x 4 + 3 = 9 2
Para o limite: lim x → 0 ⁡ e x - 1 x = 1 Ilustre a Definição 2 encontrando os valores de δ que correspondam a ε = 0,5 e ε = 0,1 .
Mostre por meio de um exemplo que lim x → a ��� f x + g ( x ) ��� pode existir mesmo que nem lim x → a ⁡ f ( x ) nem lim x → a ⁡ g ( x ) existam.