14. Suponha que lim x → 1 ⁡ h x = 5 , lim x → 1 ⁡ p x = 1 e lim x → 1 ⁡ r x = 2 . Especifique quais regras do teorema abaixo utilizadas para efetuar as etapas 1, 2 e 3 do cálculo a seguir:

lim x → 1 ⁡ 5 h x p x 4 - r x   1 = lim x → 1 ⁡ 5 h x lim x → 1 ⁡ p x 4 - r x

2 = lim x → 1 ⁡ 5 h x lim x → 1 ⁡ p x lim x → 1 ⁡ 4 - r x

3 = lim x → 1 ⁡ 5 h x lim x → 1 ⁡ p x lim x → 1 ⁡ 4 - lim x → 1 ⁡ r x

= ( 5 ) ( 5 ) 1 4 - 2

= 5 2

Teorema (Leis do Limite). Se L , M ,   c e k são números reais e

lim x → c ⁡ f ( x ) = L e lim x → c ⁡ g x ,

Então:

1. lim x → c ⁡ f x + g x = L + M

2. lim x → c ⁡ f x - g x = L - M

3. lim x → c ⁡ k f x = k L

4. lim x → c ⁡ f x g x = L M

5. lim x → c ⁡ f x g x = L M ,   M ≠ 0

6. lim x → c ⁡ f x n = L n onde n ∈ Z +

7. lim x → c ⁡ f x n = L n , onde n ∈ Z +

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão foi dada a resolução de um limite divida em etapas. Vamos precisar dizer quais regras foram usadas em cada etapa.

Passo 2

Na etapa 1, o limite da fração virou a fração dos limites, então foi usada a regra 5:

lim x → c ⁡ f x g x = L M ,   M ≠ 0

Na etapa 2, na parte de cima, o limite da raiz virou a raiz do limite, então foi usada a regra 7:

lim x → c ⁡ f x n = L n , onde n ∈ Z +

Na parte de baixo, o limite da multiplicação virou a multiplicação dos limites, então a regra usada foi a regra 4:

lim x → c ⁡ f x g x = L M

Na etapa 3, o limite da subtração virou a subtração dos limites, então foi usada a regra 2:

lim x → c ⁡ f x - g x = L - M

Resposta

Resolução detalhada nos passos

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Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite e ilustre com um diagrama como o da Figura 9. lim x → 1 ⁡ 2 x + 3 = 5
Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite. lim x → 6 ⁡ x 4 + 3 = 9 2
Para o limite: lim x → 0 ⁡ e x - 1 x = 1 Ilustre a Definição 2 encontrando os valores de δ que correspondam a ε = 0,5 e ε = 0,1 .
Mostre por meio de um exemplo que lim x → a ⁡ f x + g ( x ) pode existir mesmo que nem lim x → a ⁡ f ( x ) nem lim x → a ⁡ g ( x ) existam.