Calcule os seguintes limites. Justifique suas respostas.

l i m x → 3 x ³ - 27 x - 3

Passo 1

Galeraaa, como vocês tão?

Essa questão é bem fundamental! Bora tentar fazer alguns exemplos?

Bom, a questão quer que calculemos o seguinte limite l i m x → 3 x ³ - 27 x - 3 , e em seguida justifique o resultado encontrado.

Passo 2

O primeiro passo que devemos tomar quando estamos resolvendo uma questão de limites é substituir o valor para o qual meu x   tende na equação.

Ao fazer isso, nos deparamos com:

l i m x → 3 x ³ - 27 x - 3

= 3 ³ - 27 3   -   3

= 27   - 27 3 - 3

Pois bem, chegamos a uma indeterminação matemática 0 0 . E agora???

Calma que tem solução, é necessário apenas uma estratégia para resolver essa indeterminação.

Passo 3

Para fugir da indeterminação encontrada no passo anterior iremos fatorar a nossa equação. Então como em produtos notáveis estudamos que

( a ³   -   b ³ )   =   ( a - b ) ( a ² + a b + b ² )

Utilizaremos essa mesma ideia para conseguir simplificar a nossa expressão, assim, o numerador da minha equação ficará da seguinte forma:

( x ³   -   27 )   =   ( x ³   -   3 ³ )   =   ( x - 3 ) ( x ² + 3 x + 9 )

Agora ficou fácil, porque com essa simplificação já encontramos a parcela ( x - 3 ) tanto no numerador quanto no denominador. Assim,

l i m x → 3     ( x - 3 ) ( x ² + 3 x + 9 ) ( x - 3 )

= l i m x → 3 x ² + 3 x + 9  

Passo 4

Como conseguimos solucionar a indeterminação, agora só resta substituir o x em questão por 3 .

l i m x → 3 x ² + 3 x + 9

= 3 ² + 3 ⋅ 3 + 9   =   27

Importante!

É essencial reforçar que esse último passo só foi possível devido a uma propriedade dos limites que afirma que quando temos o limite de uma constante tendendo a determinado valor, o limite será a própria constante.

E aí? Consegui te ajudar? Ótimo!

Bora treinar mais!

Resposta

  27

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