Exercícios Resolvidos de Introdução aos Limites e suas Propriedades

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Enunciado

Calcule o limite:

lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 cos ⁡ π x . e x 2 + ln ⁡ x

Passo 1

Bom galera, a gente vai precisar usar todas as propriedades básicas de limites que vimos.

Vamos lá:

lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 cos ⁡ π x . e x 2 + ln ⁡ x

Primeiro, a propriedade da soma:

lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 cos ⁡ π x . e x 2 + ln ⁡ x = lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 cos ⁡ π x . e x 2 + lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x

Beleza?

Vamos nos concentrar no limite mais a esquerda primeiro, por ele ser o mais difícil.

Passo 2

Então:

lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 cos ⁡ π x . e x 2

Usando a propriedade do quociente:

lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 cos ⁡ π x . e x 2 = lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 lim x → 1 ⁡ cos ⁡ π x . e x 2

Agora, usando a propriedade do produto no denominador e no numerador:

lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 lim x → 1 ⁡ cos ⁡ π x . e x 2 = lim x → 1 ⁡ x 3 . lim x → 1 ⁡ x + x 2 lim x → 1 ⁡ cos ⁡ π x . lim x → 1 ⁡ e x 2

Show. Dali a gente já pode usar a substituição em algumas partes. Mas vamos antes colocar o limite pra dentro da raiz , da exponencial e da função cosseno, usando a propriedade das funções contínuas.

Obs: Você vai entender melhor o que são funções contínuas no capítulo de continuidades.

Então:

lim x → 1 ⁡ x 3 . lim x → 1 ⁡ x + x 2 lim x → 1 ⁡ cos ⁡ π x . lim x → 1 ⁡ e x 2 = lim x → 1 ⁡ x 3 . lim x → 1 ⁡ x + x 2 cos ( lim x → 1 ⁡ πx )   ⁡ . e lim x → 1 ⁡ x 2  

Show? Agora substituindo o valor 1 em cada expressão, chegamos a:

lim x → 1 ⁡ x 3 . lim x → 1 ⁡ x + x 2 cos ( lim x → 1 ⁡ πx )   ⁡ . e lim x → 1 ⁡ x 2   = 1 3 . 1 + 1 2 cos ⁡ π . 1 . e 1 2 = 2 - 1 . e = - 2 e

Passo 3

Bom, já calculamos um dos nossos limites iniciais. Voltando a expressão:

lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 cos ⁡ π x . e x 2 + lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x

Vamos agora calcular o limite da direita:

lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x = ln ⁡ 1 = 0

Bem mais fácil que o outro, né? Hehe.

Agora, voltando a expressão anterior:

lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 cos ⁡ π x . e x 2 + lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x = - 2 e + 0 = - 2 e

Logo:

lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 cos ⁡ π x . e x 2 + ln ⁡ x = - 2 e

Viu? É simples. O importante é ir dividindo devagar, ao menos no início, quando estamos mais inseguros. Depois você vai fazer isso ai bem rápido. (:

Resposta

lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 cos ⁡ π x . e x 2 + ln ⁡ x = - 2 e

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