Aplique as propriedades dos limites e calcule o limite:

lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 cos ⁡ π x . e x 2 + ln ⁡ x

Passo 1

Bom galera, a gente vai precisar usar todas as propriedades básicas de limites que vimos para quebrar essa funçãozona em funções mais simples.

Vamos lá:

lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 cos ⁡ π x . e x 2 + ln ⁡ x

Primeiro, a propriedade da soma, que diz que o limite de uma soma é a soma dos limites:

lim x → 1 ⁡ p x + r x = lim x → 1 ⁡ p x + lim x → 1 ⁡ r x

Aplicando temos:

lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 cos ⁡ π x . e x 2 + ln ⁡ x = lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 cos ⁡ π x . e x 2 + lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x

Beleza?

Vamos nos concentrar no limite da esquerda primeiro, por ele ser o mais difícil.

Passo 2

Então temos:

lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 cos ⁡ π x . e x 2

Usando a propriedade do quociente, que diz o limite de uma divisão é a divisão dos limites, ficamos com:

lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 cos ⁡ π x . e x 2 = lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 lim x → 1 ⁡ cos ⁡ π x . e x 2

Agora, usando a propriedade do produto, que diz que o limite de um produto é o produto dos limites, no denominador e no numerador ficamos com:

lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 lim x → 1 ⁡ cos ⁡ π x . e x 2 = ( lim x → 1 ⁡ x 3 ) . ( lim x → 1 ⁡ x + x 2 ) ( lim x → 1 ⁡ cos ⁡ π x ) . ( lim x → 1 ⁡ e x 2 )

Show! Agora substituindo o valor 1 em cada expressão, chegamos a:

lim x → 1 ⁡ x 3 . lim x → 1 ⁡ x + x 2 cos ( lim x → 1 ⁡ πx )   ⁡ . e lim x → 1 ⁡ x 2   = 1 3 . 1 + 1 2 cos ⁡ π . 1 . e 1 2 = 2 - 1 . e = - 2 e

Passo 3

Bom, já calculamos um dos nossos limites iniciais. Voltando a expressão:

lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 cos ⁡ π x . e x 2 + lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x

Vamos agora calcular o limite da direita, que tava faltando:

lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x = ln ⁡ 1 = 0

Bem mais fácil que o outro, né? Hehe.

Agora, voltando a expressão anterior:

lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 cos ⁡ π x . e x 2 + lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x = - 2 e + 0 = - 2 e

Logo:

lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 cos ⁡ π x . e x 2 + ln ⁡ x = - 2 e

Viu? É simples. O importante é ir dividindo devagar, ao menos no início, quando estamos mais inseguros. Depois você vai fazer isso ai bem rápido. (:

Resposta

lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 cos ⁡ π x . e x 2 + ln ⁡ x = - 2 e

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Para o limite lim x → 1 ⁡ x 3 + x + 1 = 3 , use um gráfico para determinar o valor do δ correspondente a ε = 0,4 .Usando um sistema de computação algébrica para resolver a equação x 3 + x + 1 = 3 + ε
Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite e ilustre com um diagrama como o da Figura 9. lim x → 1 ⁡ 2 x + 3 = 5
Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite. lim x → 6 ⁡ x 4 + 3 = 9 2
Mostre por meio de um exemplo que lim x → a ⁡ f x + g ( x ) pode existir mesmo que nem lim x → a ⁡ f ( x ) nem lim x → a ⁡ g ( x ) existam.
Para o limite lim x → 0 ⁡ e x - 1 x = 1 ilustre a Definição 2 encontrando os valores de δ que correspondam a ε = 0,5 e ε = 0,1 .