Se lim x → 0 ⁡ f x x 2 = 1 , determine:

a lim x → 0 ⁡ f x

b lim x → 0 ⁡ f x x

Passo 1

(a)

Aqui, a ideia é aplicar a propriedade dos limites. Se fizermos aparecer aquele limite que nos foi dado no enunciado poderemos substituí-lo por 1 , certo? Dessa forma, vou forçar o limite do enunciado a aparecer, multiplicando em cima e embaixo por x 2 :

lim x → 0 ⁡ f x = lim x → 0 ⁡ f x x 2 x 2 = lim x → 0 ⁡ f x x 2 lim x → 0 ⁡ x 2

Aproveitei e já apliquei a propriedade do produto.

Passo 2

Do enunciado, temos que lim x → 0 ⁡ f x x 2 = 1 . Assim, substituindo x → 0 no outro limite teremos:

lim x → 0 ⁡ f x x 2 lim x → 0 ⁡ x 2 = 1 0 2

= 0

Passo 3

(b)

Novamente, resolver esse cara passa só pelo uso das propriedades, forçando o limite que já conhecemos a aparecer:

lim x → 0 ⁡ f x x = lim x → 0 ⁡ f x x . x x = lim x → 0 ⁡ f x x 2 lim x → 0 ⁡ x

Passo 4

Do enunciado, temos que lim x → 0 ⁡ f x x 2 = 1 . Assim, substituindo x → 0 no outro limite teremos:

lim x → 0 ⁡ f x x 2 lim x → 0 ⁡ x = 1 0

= 0

Resposta

a   lim x → 0 ⁡ f x = 0

b   lim x → 0 ⁡ f x x = 0

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Para o limite lim x → 1 ⁡ x 3 + x + 1 = 3 , use um gráfico para determinar o valor do δ correspondente a ε = 0,4 .Usando um sistema de computação algébrica para resolver a equação x 3 + x + 1 = 3 + ε
Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite e ilustre com um diagrama como o da Figura 9. lim x → 1 ⁡ 2 x + 3 = 5
Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite. lim x → 6 ⁡ x 4 + 3 = 9 2
Mostre por meio de um exemplo que lim x → a ⁡ f x + g ( x ) pode existir mesmo que nem lim x → a ⁡ f ( x ) nem lim x → a ⁡ g ( x ) existam.
Para o limite lim x → 0 ⁡ e x - 1 x = 1 ilustre a Definição 2 encontrando os valores de δ que correspondam a ε = 0,5 e ε = 0,1 .