Utilizando apenas as propriedades de limite, que lim x → 2 ⁡ x = 2 e que lim x → 1 ⁡ x = 1 , calcule lim x → 2 ⁡ x 3 - x x + 1 . Comentário 1. Você deve estar se perguntando qual a necessidade desse exercício, já que bastava ter “trocado” x por 2. Daqui algumas aulas aprenderemos uma lista de funções em que podemos calcular limite dessa forma, apenas trocando o x. Essas funções serão chamadas de contínuas. Porém, como ainda não sabemos quem são elas, resolvemos limites com as ferramentas que temos (por enquanto, as propriedades de limites, que lim x → x 0 ⁡ x = x 0 e que   lim x → x 0 ⁡ c = c , em que x 0 e c não números fixados).

Comentário 2. Imagine que um exercício com enunciado análogo ao que você acabou de fazer peça para usar as propriedades para calcular o limite lim x → - 3 ⁡ x 2 - x 3 - x x + 1 . Você iria pensar: preciso fazer um monte de etapas como antes para verificar que era só substituir x por −3. Nesse pensamento, você mentalmente usou as propriedades para chegar a essa conclusão de que poderia calcular o limite apenas substituindo x. Esse é o objetivo do próximo exercício: dizer se você pode ou não resolver o limite apenas substituindo (lembre-se de pensar se as propriedades funcionam no item analisado).

Passo 1

Oi galera, beleza? Vamos resolver juntos?

O problema pediu pra gente resolver o seguinte limite:

lim x → 2 ⁡ x 3 - x x + 1

Mas antes, deixa eu te relembrar umas coisas:

O limite é um operador linear: isso quer dizer que podemos passar ele pra dentro de outras funções. Como por exemplo a potência:

lim x → 3 ⁡ x 3 = lim x → 3 ⁡ x 3

E daí podemos substituir x por 3 :

lim x → 3 ⁡ x 3

E daí sabemos que lim x → x 0 ⁡ x = x 0 , então:

lim x → 3 ⁡ x 3 = 3 3 = 27

Sacou?

Então a ideia é passar o limite pra dentro dessa função, pra onde tem o x . Daí depois calculamos os limites menorzinhos.

Passo 2

Temos o limite:

lim x → 2 ⁡ x 3 - x x + 1

Então essa razão pode virar o seguinte:

lim x → 2 ⁡ x 3 - x x + 1 = lim x → 2 ⁡ x 3 - lim x → 2 ⁡ x lim x → 2 ⁡ x + lim x → 2 ⁡ 1

Agora podemos calcular individualmente os limites!

Passo 3

Sabendo que lim x → x 0 ⁡ x = x 0 e que lim x → x 0 ⁡ c = c , então:

lim x → 2 ⁡ x 3 = lim x → 2 ⁡ x 3 = 2 3 = 8

lim x → 2 ⁡ x = 2

lim x → 2 ⁡ 1 = 1

Agora é só juntar todos esses resultados no nosso limite!

Passo 4

A gente tinha:

lim x → 2 ⁡ x 3 - x x + 1 = lim x → 2 ⁡ x 3 - lim x → 2 ⁡ x lim x → 2 ⁡ x + lim x → 2 ⁡ 1

Com os resultados teremos:

lim x → 2 ⁡ x 3 - x x + 1 = lim x → 2 ⁡ x 3 - lim x → 2 ⁡ x lim x → 2 ⁡ x + lim x → 2 ⁡ 1 = 8 - 2 2 + 1 = 6 3 = 2

Ufa! Terminamos!

Espero ter ajudado!

Resposta

2

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Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite. lim x → 6 ⁡ x 4 + 3 = 9 2
Para o limite: lim x → 0 ⁡ e x - 1 x = 1 Ilustre a Definição 2 encontrando os valores de δ que correspondam a ε = 0,5 e ε = 0,1 .
Mostre por meio de um exemplo que lim x → a ��� f x + g ( x ) ��� pode existir mesmo que nem lim x → a ⁡ f ( x ) nem lim x → a ⁡ g ( x ) existam.