Calcule o limite

lim x → 0 + ⁡ arctan ⁡ 2 x log 3 ⁡ ( x )

Passo 1

Usando a propriedade dos logaritmos que diz

log a ⁡ b = log c ⁡ b log c ⁡ a

Sendo:

b = x a = 3 c = e

Temos:

log 3 ⁡ ( x ) = ln ⁡ x ln ⁡ 3

Podemos transformar esse limite em

lim x → 0 + ⁡ arctan ⁡ 2 x ln ⁡ 3 ln ⁡ x

Passo 2

Como

lim x → 0 + ⁡ arctan ⁡ 2 x = 0

E

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x = - ∞

Então

lim x → 0 + ⁡ arctan ⁡ 2 x l n ⁡ 3 l n ⁡ x = 0 - ∞ = 0

Resposta

lim x → 0 + ⁡ arctan ⁡ 2 x log 3 ⁡ ( x ) = 0

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Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite e ilustre com um diagrama como o da Figura 9. lim x → 1 ⁡ 2 x + 3 = 5
Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite. lim x → 6 ⁡ x 4 + 3 = 9 2
Mostre por meio de um exemplo que lim x → a ⁡ f x + g ( x ) pode existir mesmo que nem lim x → a ⁡ f ( x ) nem lim x → a ⁡ g ( x ) existam.
Para o limite lim x → 0 ⁡ e x - 1 x = 1 ilustre a Definição 2 encontrando os valores de δ que correspondam a ε = 0,5 e ε = 0,1 .