Calcule os limites:

lim x → - ∞ ⁡ 1 2 x + 3 arctg ⁡ 5 x + lim x → + ∞ ⁡ e - x ln ⁡ 1 x

Passo 1

Repara, ali nós temos dois limites:

lim x → - ∞ ⁡ 1 2 x + 3 arctg ⁡ 5 x       ;       lim x → + ∞ ⁡ e - x ln ⁡ 1 x

Vou concentrar no primeiro deles, depois vemos o segundo.

lim x → - ∞ ⁡ 1 2 x + 3 arctg ⁡ 5 x

Passo 2

O termo com x no denominador vai desaparecer quando jogarmos ele a mais ou menos infinito, correto?

lim x → - ∞ ⁡ 1 2 x = 1 - ∞ = 0

Passo 3

Aqui uma peculiaridade. Aqui temos o caso raro do arco tangente que vai para π 2 quando seu argumento explode a + ∞ e - π 2 quando x → - ∞ . Nesse limite, caímos no segundo caso:

lim x → - ∞ ⁡ + 3 arctg ⁡ 5 x = + 3 arctg ⁡ - ∞

= 3 - π 2 = - 3 π 2

Passo 4

No segundo limite agora, caímos num cara que podemos substituir de primeira:

lim x → + ∞ ⁡ e - x ln ⁡ 1 x = e - ∞ ln ⁡ 1 ∞ = e - ∞ ln ⁡ 0

= 0 - ∞ = 0

Com isso,

lim x → - ∞ ⁡ 1 2 x + 3 arctg ⁡ 5 x + lim x → + ∞ ⁡ e - x ln ⁡ 1 x = 0 - 3 π 2 + 0

= - 3 π 2

Resposta

lim x → - ∞ ⁡ 1 2 x + 3 arctg ⁡ 5 x + lim x → + ∞ ⁡ e - x ln ⁡ 1 x = - 3 π 2

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Para o limite lim x → 1 ⁡ x 3 + x + 1 = 3 , use um gráfico para determinar o valor do δ correspondente a ε = 0,4 .Usando um sistema de computação algébrica para resolver a equação x 3 + x + 1 = 3 + ε
Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite e ilustre com um diagrama como o da Figura 9. lim x → 1 ⁡ 2 x + 3 = 5
Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite. lim x → 6 ⁡ x 4 + 3 = 9 2
Mostre por meio de um exemplo que lim x → a ⁡ f x + g ( x ) pode existir mesmo que nem lim x → a ⁡ f ( x ) nem lim x → a ⁡ g ( x ) existam.
Para o limite lim x → 0 ⁡ e x - 1 x = 1 ilustre a Definição 2 encontrando os valores de δ que correspondam a ε = 0,5 e ε = 0,1 .