Considere funções f , g : I R → I R com g limitada. Assinale a afirmação incorreta

  1. Se f x < 0 , para todo x ∈ I R e lim x → 0 ⁡ f x = 0 , então lim x → 0 ⁡ g x + 1 f x = - ∞
  2. Se lim x → 0 ⁡ f x = + ∞ , então lim x → 0 ⁡ g x f x = 0
  3. Se lim x → 0 ⁡ f x = + ∞ , então lim x → 0 ⁡ f x + g x = + ∞
  4. Se lim x → 0 ⁡ f x = 0 , então lim x → 0 ⁡ g x f 2 x + g 2 x f x = 0
  5. Se lim x → 0 ⁡ f x = + ∞ , então lim x → 0 ⁡ f x g x = + ∞

Passo 1

Vamos tentar provar um de cada vez, ok? Começando pela letra A , nota o seguinte, se f x < 0 então a função f vai sempre estar abaixo do eixo x . Na prática, quando fazemos:

lim x → 0 ⁡ f x = 0

Estamos achando números cada vez mais próximos de 0 porém sempre negativos! Por exemplo - 0,00 01 . A gente pode escrever esse limite dessa forma pra denotar isso:

lim x → 0 ⁡ f x = 0 -

Das propriedades dos limites, podemos tirar:

lim x → 0 ⁡ g x + 1 f x = lim x → 0 ⁡ g x + 1 lim x → 0 ⁡ f x

E olha só! O limte de cima, existente, vai ser sempre positivo pra qualquer g x que se tome! Até porque, o módulo tá ali responsável por se livrar de valores negativos. Seja então:

lim x → 0 ⁡ g x + 1 = L > 0

Ficamos com:

lim x → 0 ⁡ g x + 1 f x = lim x → 0 ⁡ g x + 1 lim x → 0 ⁡ f x = L 0 - = - ∞

Passo 2

Pra letra B , podemos usar a mesma propriedade dos limites que usamos na A e fazer

lim x → 0 ⁡ g x f x = lim x → 0 ⁡ g x lim x → 0 ⁡ f x

Tendo que existe: lim x → 0 ⁡ g x = L

O resultado da letra B é:

lim x → 0 ⁡ g x f x = lim x → 0 ⁡ g x lim x → 0 ⁡ f x = L + ∞ = 0

Correta também!

Passo 3

Nessas próximas duas letras vamos usar uma outra propriedade dos limites: a aditiva. Seja:

lim x → 0 ⁡ f x + g x = lim x → 0 ⁡ f x + lim x → 0 ⁡ g x

Considerando a existência desse limite:

lim x → 0 ⁡ g x = L

O resultado da letra C será:

lim x → 0 ⁡ f x + g x = + ∞ + L = + ∞

E na próxima letra a gente precisa usar a propriedade aditiva e multiplicativa ao mesmo tempo. Saca só

lim x → 0 ⁡ g x f 2 x + g 2 x f x = lim x → 0 ⁡ g x f 2 x + lim x → 0 ⁡ g 2 x f x

lim x → 0 ⁡ g x f 2 x + g 2 x f x = lim x → 0 ⁡ g x ∙ lim x → 0 ⁡ f 2 x + lim x → 0 ⁡ g 2 x ∙ lim x → 0 ⁡ f x

lim x → 0 ⁡ g x f 2 x + g 2 x f x = lim x → 0 ⁡ g x ∙ lim x → 0 ⁡ f x 2 + lim x → 0 ⁡ g x 2 ∙ lim x → 0 ⁡ f x

Se existe: lim x → 0 ⁡ g x = L

lim x → 0 ⁡ f x = 0

O resultado da letra D é:

lim x → 0 ⁡ g x f 2 x + g 2 x f x = L ∙ 0 2 + L 2 ∙ 0 = 0

Por eliminação a letra E é a errada, mas vamos ver o porque disso também

Passo 4

A última letra diz que se lim x → 0 ⁡ f x = + ∞ , então lim x → 0 ⁡ f x g x = + ∞ . Isso não é verdade porque, por exemplo, se lim x → 0 ⁡ g x = 0 , vamos ter:

lim x → 0 ⁡ f x g x = lim x → 0 ⁡ f x ∙ lim x → 0 ⁡ g x = 0 ∙ ∞

O que é dá numa indeterminação! Um bom contra-exemplo é o limite fundamental trigonométrico. Supondo:

lim x → 0 ⁡ g x = lim x → 0 ⁡ s i n x = 0

lim x → 0 ⁡ f x = lim x → 0 ⁡ 1 x = + ∞

lim x → 0 ⁡ f x g x = lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x = 1 ≠ + ∞

Resposta

L e t r a   E

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Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite e ilustre com um diagrama como o da Figura 9. lim x → 1 ⁡ 2 x + 3 = 5
Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite. lim x → 6 ⁡ x 4 + 3 = 9 2
Para o limite: lim x → 0 ⁡ e x - 1 x = 1 Ilustre a Definição 2 encontrando os valores de δ que correspondam a ε = 0,5 e ε = 0,1 .
Mostre por meio de um exemplo que lim x → a ⁡ f x + g ( x ) pode existir mesmo que nem lim x → a ⁡ f ( x ) nem lim x → a ⁡ g ( x ) existam.