Considere funções f , g : I R → I R com f limitada. Assinale a afirmação incorreta

  1. Se g x < 0 , para todo x ∈ I R e lim x → 0 ⁡ g x = 0 , então lim x → 0 ⁡ f x + 1 g x = - ∞
  2. Se lim x → 0 ⁡ g x = + ∞ , então lim x → 0 ⁡ f x g x = 0
  3. Se lim x → 0 ⁡ g x = + ∞ , então lim x → 0 ⁡ f x + g x = + ∞
  4. Se lim x → 0 ⁡ g x = 0 , então lim x → 0 ⁡ g x f 2 x + g 2 x f x = 0
  5. Se lim x → 0 ⁡ g x = + ∞ , então lim x → 0 ⁡ f x g x = + ∞

Passo 1

Pra gente achar a incorreta não tem jeito, é tentar provar um a um e marcar a que não conseguir. Começando pela letra A , nota o seguinte, se g x < 0 então a função g ta sempre abaixo do eixo x . Oras, então se fizermos:

lim x → 0 ⁡ g x = 0

Na verdade estamos achando números cada vez mais próximos de 0 porém sempre negativos! Por exemplo - 0,000001 . A gente pode escrever esse limite dessa forma pra denotar isso:

lim x → 0 ⁡ g x = 0 -

Agora, saca só o numerador do outro limite: f x + 1 . Das propriedades dos limites:

lim x → 0 ⁡ f x + 1 g x = lim x → 0 ⁡ f x + 1 lim x → 0 ⁡ g x

E olha só! O limte de cima, existente, vai ser sempre positivo pra qualquer f x que se escolha! Afinal, o módulo tá ali responsável por se livrar de valores negativos. Seja então:

lim x → 0 ⁡ f x + 1 = L > 0

Ficamos com:

lim x → 0 ⁡ f x + 1 g x = lim x → 0 ⁡ f x + 1 lim x → 0 ⁡ g x = L 0 - = - ∞

Ta provado! Próxima!

Passo 2

Agora nesse passo vamos precisar usar a mesma propriedade dos limites, porque seja:

lim x → 0 ⁡ f x g x = lim x → 0 ⁡ f x lim x → 0 ⁡ g x

Se existe lim x → 0 ⁡ f x = L

O resultado da letra B é:

lim x → 0 ⁡ f x g x = lim x → 0 ⁡ f x lim x → 0 ⁡ g x = L + ∞ = 0

Correta também!

Passo 3

Vambora que os limites não se calculam sozinhos! Nessas próximas duas letras vamos usar uma propriedade diferente dos limites: a aditiva. Seja:

lim x → 0 ⁡ f x + g x = lim x → 0 ⁡ f x + lim x → 0 ⁡ g x

Se existe: lim x → 0 ⁡ f x = L

O resultado da letra C é:

lim x → 0 ⁡ f x + g x = L + ∞ = + ∞

Então ta provado também essa letra, e a próxima a gente usa a propriedade aditiva e multiplicativa ao mesmo tempo:

lim x → 0 ⁡ g x f 2 x + g 2 x f x = lim x → 0 ⁡ g x f 2 x + lim x → 0 ⁡ g 2 x f x

lim x → 0 ⁡ g x f 2 x + g 2 x f x = lim x → 0 ⁡ g x ∙ lim x → 0 ⁡ f 2 x + lim x → 0 ⁡ g 2 x ∙ lim x → 0 ⁡ f x

lim x → 0 ⁡ g x f 2 x + g 2 x f x = lim x → 0 ⁡ g x ∙ lim x → 0 ⁡ f x 2 + lim x → 0 ⁡ g x 2 ∙ lim x → 0 ⁡ f x

Se existe: lim x → 0 ⁡ f x = L

lim x → 0 ⁡ g x = 0

O resultado da letra D é:

lim x → 0 ⁡ g x f 2 x + g 2 x f x = 0 ∙ L 2 + 0 2 ∙ L = 0

Por eliminação a letra E é a errada, mas vamos ver o porque disso também

Passo 4

A última letra diz que se lim x → 0 ⁡ g x = + ∞ , então lim x → 0 ⁡ f x g x = + ∞ . Isso não é verdade porque se lim x → 0 ⁡ f x = 0 , o limite fica:

lim x → 0 ⁡ f x g x = lim x → 0 ⁡ f x ∙ lim x → 0 ⁡ g x = 0 ∙ ∞

O que é uma indeterminação! Um bom contra-exemplo é o limite fundamental trigonométrico. Supondo:

lim x → 0 ⁡ f x = lim x → 0 ⁡ s i n x = 0

lim x → 0 ⁡ g x = lim x → 0 ⁡ 1 x = + ∞

lim x → 0 ⁡ f x g x = lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x = 1 ≠ + ∞

Resposta

L e t r a   E

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