Considere a seguinte proposição: Se lim n → ∞ ⁡ a n b n = 0 , então b n → ∞

  1. a n = 1 n 2 e b n = 1 n é um exemplo para a proposição?
  2. A proposição é verdadeira ou falsa?

Passo 1

a 2 )

Vamos começar vendo se ele obedece a hipótese, e depois vemos se a tese é verdadeira.

Para isso vamos calcular

lim n → ∞ ⁡ a n b n = lim n → ∞ ⁡ 1 n 2 1 n = lim n → ∞ ⁡ 1 n 2 n 1 = lim n → ∞ ⁡ n n 2 = lim n → ∞ ⁡ 1 n = 1 ∞ = 0

Beleza, a hipótese para esse cara é válida, vamos ver se a tese também é verdadeira

Passo 2

lim n → ∞ ⁡ b n = lim n → ∞ ⁡ 1 n = 1 ∞ = 0

Logo a tese não é obedecida, e esse cara não vai ser um exemplo para a proposição.

Passo 3

a 3 )

Para que essa proposição seja verdadeira, sempre que a hipótese for verdadeira a tese deve ser também, o caso do item a 2 temos a hipótese verdadeira e a tese falsa, então já vimos um caso onde a proposição é falsa, logo ela vai ser Falsa.

Resposta

  1. Não vai ser um exemplo
  2. A proposição é falsa

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Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite e ilustre com um diagrama como o da Figura 9. lim x → 1 ⁡ 2 x + 3 = 5
Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite. lim x → 6 ⁡ x 4 + 3 = 9 2
Mostre por meio de um exemplo que lim x → a ⁡ f x + g ( x ) pode existir mesmo que nem lim x → a ⁡ f ( x ) nem lim x → a ⁡ g ( x ) existam.
Para o limite lim x → 0 ⁡ e x - 1 x = 1 ilustre a Definição 2 encontrando os valores de δ que correspondam a ε = 0,5 e ε = 0,1 .