Dada f : R → R . Suponhamos que lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = - ∞ . Então:

  1. f é decrescente
  2. lim x → + ∞ ⁡ f ( x ² ) = + ∞
  3. ∀ m ≥ 0 , temos f x ≤ 0 se x > m
  4. lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = + ∞
  5. Nenhuma das respostas acima é correta

Passo 1

Vamos analisar cada uma das alternativas. A letra a afirma que a função é decrescente. Tudo que sabemos é que

lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = - ∞

Não há nada que impeça que a função para - ∞ seja crescente, pelo menos em parte dela.

Pra função toda ser decrescente, pra todo x 1 > x 2 teremos um f x 1 < f x 2 . Dá uma olhada nessa função aqui:

f x = - x 2 + 5

Observe o esboço do seu gráfico:

É possível ver que para x < 0 , a função é crescente. No entanto, se tomarmos o limite dessa função com x tendendo a + ∞ , teremos:

lim x → + ∞ ⁡ - x 2 + 5 = - ∞

Ou seja, acabamos de dar um exemplo de uma função que não é totalmente decrescente e que o limite dá menos infinito.

Essa opção então ó, já era, incorreta!

Passo 2

A letra b afirma que

lim x → + ∞ ⁡ f ( x ² ) = + ∞

Vamos usar um exemplo de uma função aqui, para ver se isso está certo.

f x = - x ² ( x - 1 )

Se tomarmos o limite dessa função para x → + ∞ , teremos:

lim x → + ∞ ⁡ - x 2 x - 1 = - ∞ 2 ∞ = - ∞

Agora, vamos substituir o x da função por x 2

f x 2 = - x 4 x 2 - 1

Tomando o limite, teremos:

l i m x → + ∞ - x 4 x 2 - 1 = - ( ∞ 4 ∞ 2 ) = - ∞

O gráfico de f x ² = - x 4 ( x ² - 1 ) é assim

Olha só! Olhando pro gráfico dá pra ver que lim x → + ∞ ⁡ f ( x ² ) = - ∞ , portanto podemos concluir que a letra b é falsa.

Passo 3

A letra c diz que sempre que x for maior que um número m positivo ou igual a zero, a função será negativa ou igual a zero. Usando novamente como exemplo a função

f x = - x ² ( x - 1 )

nós já vimos que, pra essa função, é verdade que

lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = - ∞

Entretanto, veja que no intervalo [ 0 ,   1 ) a função é positiva! Logo, a afirmação de que ∀ m ≥ 0 , temos f x ≤ 0 se x > m cai por terra. Por exemplo, se usarmos x = 0,5 , que é maior do que m = 0 , teremos

f 0,5 = - 0,5 2 0,5 - 1 = - 0,25 - 0,5 = 0,125

Podemos fazer ainda a mesma análisa usando a função:

f x = - x 2 + 5

Função que já vimos que o limite com x tendendo a + ∞ vai resultar em - ∞ .

Se usarmos um x = 1 por exemplo, ela resultará em:

f 1 = - 1 + 5 = 4

Que é um valor positivo, diferente do esperado que era um valor negativo ou zero.

Finalmente, podemos dizer que a letra c é falsa.

Passo 4

A alternativa d afirma que

lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = + ∞

Entretanto, no enunciado não foi dada nenhuma informação sobre como a função se comporta para - ∞ .

Por exemplo, a função que foi usada e esboçada no Passo 2,

f x = - x 4 ( x ² - 1 )

tem os limite para x → - ∞ e x → + ∞ ambos tendendo a - ∞ .

Logo, a letra d está incorreta.

Passo 5

Se nenhuma das respostas analisadas estava correta, só restou a letra e como resposta.

Resposta

e. Nenhuma das respostas acima é correta

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Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite. lim x → 6 ⁡ x 4 + 3 = 9 2
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Para o limite lim x → 0 ⁡ e x - 1 x = 1 ilustre a Definição 2 encontrando os valores de δ que correspondam a ε = 0,5 e ε = 0,1 .