Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos Globais numa Região Fechada

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Enunciado

2.9. Ache a derivada direcional máxima de f no ponto dado e dê a direção em que ela ocorre. a. f x , y = x e - y + 3 y em 1,0 ;

b. f ( x , y ) = l n x 2 + y 2 em 1 ,   2 .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema queremos obter a derivada direcional das funções f x , y = x e - y + 3 y em 1,0 e f ( x , y ) = l n x 2 + y 2 em 1 ,   2 e obter sua máxima variação.

E aí, como fazemos isso? 😁

A derivada direcional é dada por

D u f = ∇ f · u →

Ou seja, a derivada direcional máxima aponta no sentido do gradiente de f no ponto P .

Já o valor máximo da derivada direcional é dado pelo modulo do vetor máximo.

Sacou, bora começar! 👀

Passo 2

Começando pela função f x , y = x e - y + 3 y . Calculando seu gradiente, vamos obter

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

∇ f = ∂ x e - y + 3 y ∂ x , ∂ x e - y + 3 y ∂ y

Calculando as derivadas, chegamos em

∇ f = e - y , - x e - y + 3

Aplicando o ponto 1,0 , temos

∇ f 1,0 = e 0 , - 1 e - 0 + 3

∇ f 1,0 = 1 , 2

Portanto, esse é o vetor que aponta para a máxima derivada direcional.

Para calcular a variação máxima, só precisamos calcular seu módulo.

∇ f 1,0 = 1 2 + 2 2

∇ f 1,0 = 5

Entendeu como é? 😉

Passo 3

Agora vamos para a próxima função f ( x , y ) = l n x 2 + y 2 . Calculando seu gradiente...

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

∇ f = ∂ l n x 2 + y 2 ∂ x , ∂ l n x 2 + y 2 ∂ y

Pela regra da cadeia, temos ∇ f = 2 x x 2 + y 2 , 2 y x 2 + y 2

Aplicando o ponto 1,2

∇ f 1,2 = 2 1 1 2 + 2 2 , 2 2 1 2 + 2 2

∇ f 1,2 = 2 5 , 4 5

Calculando seu modulo, chegamos em

∇ f 1,2 = 2 5 2 + 4 5 2

∇ f 1,2 = 4 25 + 16 25

∇ f 1,2 = 20 25

∇ f 1,2 = 2 5 5

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

∇ f 1,0 = 1 , 2 ,   ∇ f 1,0 = 5

∇ f 1,2 = 2 5 , 4 5 ,   ∇ f 1,2 = 2 5 5

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