Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos Globais numa Região Fechada

Ver Teoria

Enunciado

(Capítulo 14.7 – Exercício 29) Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f no conjunto D .

f x , y = x 2 + y 2 - 2 x , D é a região triangular fechada com vértices ( 2 ,   0 ) , ( 0 ,   2 ) e ( 0 ,   - 2 ) .

Passo 1

E aíí gente, vamos lá? O problema pede para encontrarmos os extremos absolutos de f no conjunto D . Como f é contínua e D é fechado e limitado, o teorema do valor extremo garante que a função tem máximo e mínimo global nesse conjunto, certo?

Os candidatos a extremos globais serão os pontos críticos de f no interior de D junto com os valores extremos de f na fronteira de D .

Neste caso, D é o triangulo desenhado a seguir:

Então vamos lá

Passo 2

A fronteira é dividida em três partes:

a : y = 2 - x ,       x ∈ [ 0 ,   2 ]

b : x = 0 ,     y ∈ [ - 2 ,   2 ]

c : y = x - 2 ,           x ∈ [ 0 ,   2 ]

Vamos encontrar os pontos críticos de f :

f x = 2 x - 2 = 0 ⇒ x = 1

f y = 2 y = 0 ⇒ y = 0

Assim, o único ponto crítico de f é ( 1 ,   0 ) . Note que esse ponto está no interior de D . Ele é um dos candidatos a extremos absoluto!

Passo 3

Agora vamos olhar para a fronteira de D . Primeiro para ( a ) , em que y = 2 - x . Substituindo essa relação na expressão para f ( x , y ) , obtemos uma função de uma variável apenas:

g x = f x ,   2 - x = x 2 + 2 - x 2 - 2 x

Assim,

g x = 2 x 2 - 6 x + 4

Sabemos que g está restrita ao intervalo x ∈ [ 0 ,   2 ] . Um possível candidato a extremo dessa função é obtido fazendo g ' x = 0 :

4 x - 6 = 0 ⇒ x = 3 2

Assim, um novo candidato a extremo de f é o ponto 3 2 , 1 2 .

Na parte ( b ) , x = 0 , de modo que

g y = f 0 ,   y = y 2

Assim, g ' y = 0 implica

y = 0

Portanto, o candidato aqui é o ponto

( 0 ,   0 )

Por fim, na fronteira ( c ) com y = x - 2 :

g x = f x ,   x - 2 = x 2 + x - 2 2 - 2 x = 2 x 2 - 6 x + 4

Assim, o ponto crítico é x = 3 / 2 e o candidato a extremo de f é 3 2 ,   - 1 2 .

Já temos então quatro candidatos a extremos absolutos de f . Mas ainda falta considerar os extremos das fronteiras: as pontas do triângulo! Assim, todos os candidatos a extremos globais são:

1 ,   0 ,     3 2 , 1 2 ,               3 2 , - 1 2 ,               0 ,   0 ,               2 ,   0 ,             0 ,   2               e                 ( 0 ,   - 2 )

Passo 4

O que temos que fazer agora é avaliar o valor da função em cada um desses pontos:

f 1 ,   0 = - 1

f 3 2 , 1 2 = f 3 2 ,   - 1 2 = 9 4 + 1 4 - 3 = - 1 2

f 0 ,   0 = 0

f 2 ,   0 = 0

f 0 ,   2 = f 0   , - 2 = 4

Desta forma, o mínimo absoluto ocorre em ( 1 ,   0 ) enquanto o máximo ocorre em ( 0 ,   2 ) e ( 0 ,   - 2 ) .

E acabaaamos, ufa!

Resposta

f 1 ,   0 = - 1       →           m í n i m o   a b s o l u t o

f 0 ,   2 = f 0 ,   - 2 = 4       →         m á x i m o   a b s o l u t o

Exercícios de Livros Relacionados

Entre todos os triângulos de perímetro igual a 10 cm, encontrar o que tem maior área
Dada a função z = a x 2 + b y 2 + c , analisar os pontos críticos, considerando que:a) a0 e b0 .