Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos Globais numa Região Fechada

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Enunciado

Considere a função f x , y = x 2 - y 2 e a região D = x , y ∈ R 2 ; x 2 + y 2 ≤ 4 .  

c) Calcule os valores máximo e mínimo absolutos de f no domínio D .

Passo 1

Oi, tudo bem? Vou te ajudar a resolver esse problema, vamos lá? O problema deu essa função aqui

f x , y = x 2 - y 2

E um região D

D = x , y ∈ R 2 ; x 2 + y 2 ≤ 4

Encontramos os pontos críticos no contorno da região D

0,2 ,   0 , - 2 , 2,0 ,   ( - 2,0 )

E no interior da região D temos apenas um ponto de sela.

Sendo assim, precisamos verificar em qual desses pontos a função f assume seu valor máximo e mínimo

Tranquilo?

Partiu começar?

Passo 2

Nossa função é

f x , y = x 2 - y 2

Precisamos verificar os 4 pontos:

0,2 ,   0 , - 2 , 2,0 ,   ( - 2,0 )

Começando ( 0,2 ) :

f 0,2 = - 4

E ( 0 , - 2 ) :

f 0 , - 2 = - 4

Agora com ( 2,0 )

f 2,0 = 4

E com - 2,0

f - 2,0 = 4

Portanto vemos que nos pontos ( 0,2 ) e ( 0 , - 2 ) a função f atinge seu valor mínimo. E nos pontos ( 2,0 ) e ( - 2,0 ) atinge seu valor máximo

Tudo bem até aqui?

É isso! Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

2,0 ,   - 2,0 : m á x i m o

0,2 ,   0 , - 2 : m í n i m o

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