Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos Globais numa Região Fechada

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Enunciado

Suponha que

T x , y = 4 - 2 x 2 - y 2

represente uma distribuição da temperatura no plano. Determine os pontos da região

D = x , y ∈ R 2 : x 2 + 4 y 2 ≤ 1

de maior e menor temperatura.

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa questão, foi dada uma função que descreve a temperatura de um plano e o que precisamos fazer é calcular a maior e a menor temperatura que está condida em D .

No caso, D é dado pela equação x 2 + 4 y 2 ≤ 1 .

Entendeu? Tem alguma ideia de como fazer isso?? 🤔🤔

Para obter os pontos onde a temperatura é maior e onde a temperatura é menor, vamos aplicar o método de obtenção dos pontos críticos de T e relacionar T e D de alguma forma.

Esse método de obtenção dos pontos críticos consiste em calcular o vetor gradiente de T e igualar a um vetor nulo, formando assim

∇ T x , y = 0,0

T x = 0 T y = 0

Já para relacionar T e D , vamos introduzir D em T e obter os pontos críticos novamente.

Bora ver como é na prática? 😉

Passo 2

Primeiro vamos calcular o gradiente de T

∇ T x , y = T x , T y

Derivando T com relação a x , temos

T x = ∂ 4 - 2 x 2 - y 2 ∂ x

Pelo método da derivação polinomial, vemos

T x = - 2 2 x 2 - 1 = - 4 x

Derivando T com relação a y

T y = ∂ 4 - 2 x 2 - y 2 ∂ y

Pelo mesmo método de derivação, chegamos em

T y = - 2 y 2 - 1 = - 2 y

Portanto, o gradiente de T é dado por

∇ T x , y = - 4 x , - 2 y

Igualando a um vetor nulo, vamos ter um sistema de equações

- 4 x = 0 - 2 y = 0

Logo, vemos que a solução desse sistema é   x = 0 e y = 0 , com isso, já temos o primeiro e único ponto crítico de T . P 1 = 0,0

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Agora vamos introduzir D em T ,

No caso, vamos pegar só a borda de D , já os pontos críticos do seu interior são capturados quando calculamos os pontos críticos normalmente, como no passo anterior.

Portanto vamos considerar D como x 2 + 4 y 2 - 1

Isolando x 2 , temos

x 2 = 1 - 4 y 2

Substituindo x 2 em T , vamos obter

T D 1 = 4 - 2 1 - 4 y 2 - y 2

T D 1 = 2 + 3 y 2

Derivando com relação a y

T D 1 y = 3 2 y 2 - 1 = 6 y

Igualando a 0 , chegamos a conclusão que 6 y = 0 , logo y = 0

Substituindo y por 0 em D para obter x , vemos que

D x , 0 = x 2 + 4 0 2 - 1 = 0

x = ± 1

Assim, encontramos mais dois pontos, P 2 = 1,0   e P 3 = - 1,0

Bacana, não é?

Passo 4

Agora isolamos y 2 em D

y 2 = 1 - x 2 4

Substituindo em T , temos

T D 2 = 4 - 2 x 2 - 1 - x 2 4

T D 2 = 15 4 - 9 x 2 4

Derivando T D 2 com relação a x e igualando a 0 , temos

T D 2 x = - 9 2 x 2 - 1 4 = - 9 x 2 = 0

Se - 9 x 2 = 0 , logo x = 0 .

Substituindo x por 0 em T e igualando a 0 para obter y

T 0 , y = 0 2 + 4 y 2 - 1 = 0

y 2 = 1 4

y = ± 1 2

Assim, obtemos mais dois pontos! P 4 = 0 , 1 2 e P 5 = 0 , - 1 2

Está acompanhando? 🤔

Passo 5

Por fim, vamos calcular a imagem dos pontos que encontramos para ver qual é o maior e qual é o menor

Calculando a temperatura T do ponto P 1 = 0,0 , temos

T 0,0 = 4 - 2 0 2 - 0 2

T 0,0 = 4

Logo a temperatura do ponto P 1 é igual a 4 !

Para o ponto P 2 = 1,0

T 1,0 = 4 - 2 1 2 - 0 2

T 1,0 = 2

Nesse ponto a temperatura calculada foi 2 !

Para o ponto P 3 = - 1,0

T - 1,0 = 4 - 2 - 1 2 - 0 2

T - 1,0 = 2

Novamente a temperatura 2 foi obtida, dessa vez para P 3

Para P 4 = 0 , 1 2

T 0 , 1 2 = 4 - 2 0 2 - 1 2 2

T 0 , 1 2 = 15 4 = 3,75

No ponto P 4 a temperatura é de 3,75 !

Por último, para o ponto P 5 = 0 , - 1 2

T 0 , - 1 2 = 4 - 2 0 2 - - 1 2 2

T 0 , - 1 2 = 15 4 = 3,75

Também para este ponto, a temperatura é de 3,75 .

Analisando as temperaturas que calculamos, vemos que a maior delas é de 4 , obtida no ponto P 1 = 0,0 , e a menor temperatura é de 2, obtida nos pontos P 2 = 1,0 e P 3 = - 1,0 .

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

A maior temperatura é de 4 , obtida no ponto P 1 = 0,0 , e a menor temperatura é de 2, obtida nos pontos P 2 = 1,0 e P 3 = - 1,0 .

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