Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos Globais numa Região Fechada

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Enunciado

Passo 1

Primeiramente, queremos valor máximo, então vamos começar calculando os pontos críticos e depois a gente vê o que dá pra fazer.

Calculando as derivadas parciais:

f x = 1

f y = 5

Se igualarmos isso a zero, teremos uma inverdade, certo?

Isso significa que a função não tem pontos críticos, assim, os pontos de máximo devem ocorrer nos vértices da região restrição.

Passo 2

Beleza, então vamos seguir a sugestão da questão e desenhar as restrições de f .

A reta vermelha é a reta

5 x + 6 y = 30

E a reta azul é a reta

3 x + 2 y = 12

Agora tem também as restrições de x ≥ 0 e y ≥ 0 .

Assim, nossa região de restrição será o polígono em destaque:

Agora, vamos para as curvas de nível de f x , y . Para f x , y = x + 5 y = 6 , temos:

Para outros valores crescendo, temos:

Passo 3

Ou seja, f x , y cresce quando se aproxima do vértice superior do polígono de restrição. Esse vértice superior é justamente o ponto 0,5 , em que:

f 0,5 = 0 + 5 ⋅ 5 = 25

Resposta

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Entre todos os triângulos de perímetro igual a 10 cm, encontrar o que tem maior área
Dada a função z = a x 2 + b y 2 + c , analisar os pontos críticos, considerando que:a) a0 e b0 .