Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos Globais numa Região Fechada

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Enunciado

Determine os valore e os respectivos pontos de máximo e de mínimo da função f x , y = x 2 y 2 restrita à elipse x 2 + 4 y 2 = 8 .

Passo 1

Os quatro pontos ± 2 2 ,   0   e   0 ,   ± 2 são pontos de mínimo local, onde f = 0 ,   e os quatro pontos ( ± 2 ,   ± 1 ) são pontos de máximo local, onde f = 4 .

De fato, usando multiplicadores de Lagrange com a restrição ϕ x , y = x 2 + 4 y 2 - 8 = 0   precisamos resolver o sistema

∇ f = λ ∇ ϕ

ϕ = 0

Isso nos leva ao sistema de três equações

f x = 2 x y 2

f y = 2 x 2 y

2 x y 2 = 2 λ x 2 x 2 y = 8 λ y x 2 + 4 y 2 = 8

Passo 2

Se x = 0 ,   então λ = 0 e y 2 = 2 , o que nos leva às soluções 0 ,   ± 2 . Se y = 0 , então λ = 0 e x 2 = 8 , o que nos leva às soluções ± 2 2 ,   0 . Nesses quatro pontos, temos f = 0 . São pontos de mínimo porque f ≥ 0   sempre. Se x ,   y ≠ 0 ,   então o sistema simplifica para y 2 = λ , x 2 = 4 λ ,   x 2 + 4 y 2 = 8 . Substituindo na última equação, temos 4 λ + 4 λ = 8 , ou seja, λ = 1 ,   y 2 = 1 e x 2 = 4 . Isso nos dá os quatro pontos críticos ± 2 ,   ± 1 . Nesses quator pontos, f = x 2 y 2 = 4 .

Como não há outro ponto crítico, pois já encontramos todas as soluções das equações de Lagrange, e a restrição é um conjunto fechado e limitado, então esses são, necessariamente, pontos de máximo.

Resposta

m í n i m o → ± 2 2 ,   0 ,   0 ,   ± 2

m á x i m o → ± 2 ,   ± 1

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