Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos Globais numa Região Fechada

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Enunciado

Encontre o maior e o menor valor de f x , y = x 2 - x y + y 2 no círculo x 2 + y 2 = 1 . Em que pontos tais valores são atingidos?

Passo 1

Bom pessoal, nessa questão aí a gente tem que achar os máximos da função só em um intervalo específico: um círculo de raio 1 :

Nesse tipo de problema, você precisa lembrar de dois passos: primeiro encontrar os pontos críticos no interior do círculo, e segundo encontrar os valores máximos e mínimos na borda do círculo.

Passo 2

Vamos começar procurando os pontos críticos no interior do círculo. Pra isso a gente precisa tirar as derivadas parciais em relação a x e y :

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x x 2 - x y + y 2 = 2 x - y

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y x 2 - x y + y 2 = 2 y - x

E um ponto é crítico quando essas duas derivadas são iguais a zero sobre ele. Então ficamos com um sistema:

2 x - y = 0 2 y - x = 0

Multiplicando a equação de baixo por 2 :

2 x - y = 0 4 y - 2 x = 0

E agora somando as duas:

2 x - y + 4 y - 2 x = 0

3 y = 0         ⇒           y = 0

E substituindo y = 0 na primeira equação:

2 x - 0 = 0

x = 0

Ou seja, x , y = 0,0 é um ponto crítico. E nesse caso:

f x , y = x 2 - x y + y 2

f 0,0 = 0 - 0 + 0 = 0

Ok, vamos guardar essa informação.

Passo 3

Agora a gente tem que olhar pra borda do círculo, e procurar o maior e o menor valor.

Isso é diferente de procurar o ponto crítico, aqui só queremos achar o máximo e o mínimo nessa borda.

Aqui pode ser uma boa escrever o problema em coordenadas polares. A transformação é essa aqui:

x = r cos ⁡ θ y = r sen ⁡ θ

E já que a gente só quer olhar a borda do círculo, vamos fixar r = 1 , então:

x = cos ⁡ θ y = sen ⁡ θ

Então a função f x , y tem a seguinte forma quando estamos na borda:

f x , y = x 2 - x y + y 2

f x , y = cos 2 ⁡ θ - sen ⁡ θ cos ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ

E como sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1 :

f x , y = 1 - sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Mas ainda não é óbvio qual vai ser o valor de θ que dá o maior e o menor valor da equação.

Vamos então usar essa identidade aqui:

sen ⁡ θ cos ⁡ θ = 1 2 sen ⁡ 2 θ

Ou seja:

f θ = 1 - 1 2 sen ⁡ 2 θ

Passo 4

Tá, qual é o maior valor que essa função aqui assume?

f θ = 1 - 1 2 sen ⁡ 2 θ

O valor máximo de f θ vai aparecer quando sen ⁡ 2 θ = - 1 , certo? E como sen ⁡ 3 π 2 + 2 π k = - 1 , então:

sen ⁡ 2 θ = - 1         ⇒           2 θ = 3 π 2 + 2 π k         ⇒       θ = 3 π 4 + π k

k = 0,1 , 2 , …

O valor mínimo de f θ vai aparecer quando sen ⁡ 2 θ = 1 , que é o caso do sen ⁡ π 2 + 2 π k = 1 , então:

sen ⁡ 2 θ = 1         ⇒           2 θ = π 2 + 2 π k         ⇒       θ = π 4 + π k

k = 0,1 , 2 , …

E quais os valores de f θ nesses casos?

θ = π 4 + π k     ⇒         f π 4 + π k = 1 - 1 2 sen ⁡ π 2 + 2 π k = 1 2

θ = 3 π 4 + π k         ⇒         f 3 π 4 + π k = 1 - 1 2 sen ⁡ 3 π 2 + 2 π k = 3 2

E quais são as coordenadas x e y nesses pontos?

θ = π 4 + π k         ⇒         x = cos ⁡ π 4 + π k = 2 2 ,     s e   k = p a r - 2 2 ,     s e   k = í m p a r y = sen ⁡ π 4 + π k = 2 2 ,     s e   k = p a r - 2 2 ,     s e   k = í m p a r

θ = 3 π 4 + π k       ⇒         x = cos ⁡ 3 π 4 + π k = - 2 2 ,     s e   k = p a r 2 2 ,     s e   k = í m p a r y = sen ⁡ 3 π 4 + π k = 2 2 ,     s e   k = p a r - 2 2 ,     s e   k = í m p a r

O que na prática, significa que se k é par, temos os pontos:

2 2 , 2 2 →   θ = π 4 + π k        

- 2 2 , 2 2 →   θ = 3 π 4 + π k        

E se k é ímpar, temos os pontos:

- 2 2 , - 2 2 →   θ = π 4 + π k        

2 2 , - 2 2 →   θ = 3 π 4 + π k        

Passo 5

Ok pessoal. Então a gente localizou cinco candidatos a máximo e mínimo do círculo:

f 0,0 = 0

f 2 2 , 2 2 = 1 2

f - 2 2 , - 2 2 = 1 2

f - 2 2 , 2 2 = 3 2

f 2 2 , - 2 2 = 3 2

Então o valor máximo da função no círculo é simplesmente o maior desses três valores, ou seja:

f ± 2 2 , ∓ 2 2 = 3 2

E o valor mínimo é o menor dos três:

f 0,0 = 0

Pronto, resolvido!

Resposta

O maior valor é 3 / 2 , que ocorre no ponto x , y = ± 2 2 , ∓ 2 2 . O valor mínimo é 0 , que ocorre no ponto x , y = 0,0 .

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