Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos Globais numa Região Fechada

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Enunciado

Sejam f : R 2 → R dada por f x , y = 2 x 3 - 6 x 2 + y 3 + 15 y 2 e D = x , y ϵ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 49

1. Determine todos os pontos críticos de f em R 2 .

2. Classifique todos os pontos críticos de f em R 2 .

3. Determine os pontos de máximo e mínimo de f na circunferência x 2 + y 2 = 49

4. Determine os pontos de máximo e mínimo de f em D .

Passo 1

Salve galera! Vamos lá resolver essa questão. Para o primeiro item, precisamos descobrir os pontos críticos de f dentro da região dada. Vocês sabem a formula padrão para pontos críticos em funções de 2 variáveis?

∇ f → = 0 →

Isso significa que:

∇ f → = f x , f y - 0,0 = 2 x 3 - 6 x 2 , y 3 + 15 y 2  

Dessa forma, podemos montar um sistema que relaciona as duas partes da equação:

{ 6 x 2 - 12 x = 0   3 y 2 + 30 y = 0    

Logo:

x = 0   o u   x = 2

y = 0   o u   y = - 10

Portanto, os pontos críticos para a função vão ser justamente as combinações dos pontos para:

P = ( f x , f y )

Portanto, os 4 pontos críticos vão ser:

P 1 = ( 0,0 )

P 2 = ( 0 , - 10 )

P 3 = ( 2,0 )

P 4 = ( 2 , - 10 )

Belezura, item 1 feito. Bora pro próximo?!

Passo 2

Aqui no item 2, precisamos classificar esses pontos. Temos as classificações, para os pontos críticos, divididos em: Máximos, mínimos e pontos de selas. A gente descobre isso através de uma relação entre a segunda derivada e o determinante Hessiano. Então, resolvendo por partes. Primeiro pra segunda derivada, temos que:

f x x = 12 x - 12

f y y = 6 y + 30

f x y = 0

f y x = 0

Agora, para o Hessiano, vocês lembram como ele é descrito? Ele é dado por:

H f ( x , y ) = f x x ⋅ f y y - ( f x y ) '

Desenvolvendo:

H f ( x , y ) = 12 x - 12 ⋅ 6 y + 30 - ( 0 ) '

H f ( x , y ) = 72   ( x - 1 ) ( y + 5 )

Show. Agora que temos os valores de cada segunda variável, podemos classificar de acordo com a seguinte forma: Se H f < 0 , então o ponto automaticamente é sela. Se H f > 0 , então vamos para o teste da segunda derivada. Para H f > 0 e f x x > 0 , temos um ponto de mínimo. Para H f > 0 e f x x < 0 , temos um ponto de máximo. Achamos essa relação simplesmente aplicando os valores de x e y que achamos em cada ponto. Agora é hora de classificar:

Passo 3

Showzinho. Agora a questão pede pra gente achar os pontos de máximo e mínimo para uma nova função

g x , y = x 2 + y 2 = 49

Isso meio que “limita” a área aonde os pontos de máximo e mínimo devem ser contidos. Qual o método mais otimizado pra gente resolver esse tipo de problema? Isso mesmo, o método dos multiplicadores de Lagrange. Através desse método, achamos os pontos de máximo e mínimo da função, através do seguinte sistema:

∇ f = λ ⋅ ∇ g

g = 0

Aplicando para as nossas funções:

∇ f = 2 x 3 - 6 x 2 , y 3 + 15 y 2   '

∇ g = x 2 , y 2 '

Logo,

∇ f = 6 x ( x - 2 ) , 3 y ( y + 10 )

∇ g = 2 x , 2 y

Portanto, aplicando para o nosso sistema de multiplicadores de Lagrange:

∇ f = λ ⋅ ∇ g

g ( x , y ) = 0

Logo,

∇ f = 6 x ( x - 2 ) i + 3 y ( y + 10 ) j = λ ⋅ 2 x i + 2 y j

x 2 + y 2 - 49 = 0

Passo 4

Dessa forma, nosso sistema pode ser reescrito como:

6 x ( x - 2 ) i = 2 x λ

3 y y + 10 = 2 y λ

x 2 + y 2 - 49 = 0

Sisteminha com 3 incógnitas e três equações não lineares. Para resolver esse sistema, vamos dividir todos os casos possíveis em que x = 0 , y = 0 e por fim x ≠ 0   e   y ≠ 0 .

Para x = 0 , pela equação de restrição g ( x , y ) :

y 2 = 49

y = ± 7

Gerando os pontos:

P a = ( 0,7 )

P b = ( 0 , - 7 )

Para x = 0 , pela equação de restrição g ( x , y ) :

x 2 = 49

x = ± 7

Gerando os pontos:

P c = ( 7,0 )

P d = ( - 7,0 )

Passo 5

Para os casos em que: x ≠ 0   e   y ≠ 0 , temos o seguinte sistema:

6 x ( x - 2 ) i = 2 x λ

3 y y + 10 = 2 y λ

x 2 + y 2 - 49 = 0

Substituindo x e y na terceira equação, temos que:

5 λ 2 - 108 λ + 195 = 0

Dessa forma:

λ = 15   o u   λ = 33 / 5

Aplicando na primeira equação:

x = 7   o u   x = 21 / 5

Aplicando isso na segunda equação:

y = 0   o u   y = - 23 / 5

Portanto, todos os pontos que satisfazem o sistema de equação são:

0,7 ,     0 , - 7 ,     7,0 ,     - 7,0 ,     21 5 , - 28 5

Agora precisamos tabelar isso e saber quem são os pontos que aplicados na função, vão nos retornar o maior valor e o mínimo valor de f ( x , y ) . Esses pontos vão ser justamente os pontos de máximo e mínimo, respectivamente. Logo, aplicando em uma tabela:

Podemos perceber que o ponto de máxima é:

P a = ( 0,7 )

E o ponto de mínima é:

P d = ( - 7,0 )

Passo 6

Belezinha, agora no item 4, vamos definir os pontos de máxima e mínima dentro do domínio D . E esses pontos são constituídos ou pelos pontos de máximo de mínimo de f , que estão contidos em D . Como também pelos valores de máximo e mínimo na fronteira de D (que calculamos no item 3). Pra gente visualizar melhor, vamos considerar essa região D como:

Os pontos marcados na região são os pontos obtidos no item 3 e no item 1 . Contudo, nem todos os pontos que achamos lá no item 1 estão representados, pois não pertencem a D e portanto, não são de interesse. Para estes pontos, encontramos então, tabelados:

Logo, os máximos e mínimos correspondem aos mesmos do item passado:

P = ( 0,7 )

P = ( - 7,0 )

E é isso! WE DID IT!!!  Se ficou alguma dúvida, quer dar alguma sugestão ou reportar algum erro, manda um feedback pra gente! Vamos adorar ajudar você

Resposta

1-

P 1 = ( 0,0 )

P 2 = ( 0 , - 10 )

P 3 = ( 2,0 )

P 4 = ( 2 , - 10 )

2-

3

O ponto de máxima é:

P a = ( 0,7 )

E o ponto de mínima é:

P d = ( - 7,0 )

4- Mesmos pontos do item 3.

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