Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos Globais numa Região Fechada

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Enunciado

Seja

f x , y = 1 + 4 x - 5 y

E considere D a região triangular, fechada, de vértices 0,0 ,   2,0 ,   ( 0,3 ) . Qual das afirmativas abaixo é verdadeira?

  1. O maior valor de f em D é 1 e o menor valor de f em D é - 14 .
  2. O maior valor de f em D é 2 e o menor valor de f em D é - 17 .
  3. O maior valor de f em D é 9 e o menor valor de f em D é - 17 .
  4. f não assume um valor máximo em D .
  5. Nenhuma das demais alternativas.

Passo 1

Primeiro vamos reconhecer a nossa região.

Marcando os vértices e ligando, temos aí nosso triângulo:

Repara que ele é delimitado pelas retas x = 0 , y = 0 e pela reta que passa pelos pontos ( 2,0 ) e ( 0,3 ) .

Vamos definir a equação dessa reta porque vamos precisar dela mais tarde, ok?

Lá do ensino médio, vai ser assim:

y - y 0 = m ( x - x 0 )

y - y 0 = Δ y Δ x ( x - x 0 )

y - 0 = 3 - 0 0 - 2 ( x - 2 )

y = - 3 2 ( x - 2 )

Agora precisamos buscar os candidatos a máximo e mínimo da nossa função dentro do triângulo e na fronteira dele.

Passo 2

Verificando os pontos críticos dentro da região:

f x , y = 1 + 4 x - 5 y

f x x , y = 4

f y x , y = - 5

Igualando a zero:

4 = 0 → i m p o s s í v e l

- 5 = 0 → i m p o s s í v e l

Isso significa que não temos candidatos a máximo e mínimo no interior da nossa região.

Passo 3

Antes de passar pra fronteira da região, precisamos guardar os vértices do triângulo que é a nossa região.

São os pontos:

0,0 ,   2,0 ,   ( 0,3 )

Portanto, temos 3 pontos candidatos a máximo e mínimo.

Passo 4

Vamos para a fronteira agora.

Vamos dividir nossa fronteira em 3:

•Lado 1: y = - 3 2 ( x - 2 )

• Lado 2: x = 0   ; 0 ≤ y ≤ 3

•Lado 3: y = 0   ; 0 ≤ x ≤ 2

Em cada lado a função só depende de uma variável, e nós temos que achar os pontos críticos dessas 3 “subfunções”.

Passo 5

Comecemos pelo lado L 1 . Lembrando a nossa função:

f x , y = 1 + 4 x - 5 y

E o primeiro lado:

L 1 → y = - 3 2 ( x - 2 )  

Substituindo o lado na função:

f x , - 3 2 ( x - 2 ) = 1 + 4 x - 5 - 3 2 x - 2 = 1 + 4 x + 15 x 2 - 15

Temos que achar o valor de máximo dessa função, vamos derivar e igualar a zero. Neste caso derivamos em relação a x

4 + 15 2 = 0 → i m p o s s í v e l

Então não temos candidatos sobre o lado 1.

Passo 6

Agora precisamos fazer o mesmo pro segundo lado L 2 :

L 2 → x = 0   ; 0 ≤ y ≤ 3

Substituindo esse lado na função, teremos:

f 0 , y = 1 + 4.0 - 5 y

Desenvolvendo,

f 0 , y = 1 - 5 y

Temos que achar os pontos críticos dessa função, vamos derivar e igualar a zero. Neste caso derivamos em relação a y

- 5 = 0

Também não rola, né? Então também não temos candidatos sobre o lado 2.

Passo 7

Vamos verificar para o terceiro e último lado L 3 :

L 3 → y = 0   ; 0 ≤ x ≤ 2

Substituindo-o na função:

f x , 0 = 1 + 4 x - 5.0  

Desenvolvendo,

f x , 0 = 1 + 4 x

Neste caso derivamos em relação a x

4 = 0

x = 0

De novo, não rola. Nada de candidatos sobre o lado 3 também.

Passo 8

Ok, agora já temos todo o material necessário para terminar de vez com isso e dizer quais são os pontos de máximo e mínimo!

Os nossos candidatos são os pontos:

0,0 ,   2,0 ,   ( 0,3 )

Passo 9

Só nos resta calcular o valor da função em cada ponto. Lembrando que

f x , y = 1 + 4 x - 5 y

Então temos

f 0,0 = 1 + 4.0 - 5.0 = 1

f 2,0 = 1 + 4.2 - 5.0 = 9

f 0,3 = 1 + 4.0 - 5.3 = - 14

Show, então o maior valor de f em D é 9 e o menor valor de f em D é - 14 .

E não tem nenhuma opção que fala isso.

Resposta

Letra e

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