Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos Globais numa Região Fechada

Ver Teoria

Enunciado

Seja f x , y = x 2 - 2 x y e - y

  1. Determine os pontos críticos de f e classifique-os.
  2. Determine o máximo e o mínimo de f no quadrado (com interior e bordas) cujos vértices são 0,0 , ( 3,0 ) , ( 3,3 ) e ( 0,3 ) .

Passo 1

a) Questões desse tipo são meio trabalhosas, mas não tem mistério, é só seguir o passo a passo. Primeiro vamos achar as derivadas parciais:

∂ f ∂ x ( x , y ) = 2 x - 2 y e - y

Pra achar a derivada parcial em y vamos precisar da regra do produto:

∂ f ∂ y ( x , y ) = - 2 x e - y + x 2 - 2 x y - e - y = - 2 x - x 2 + 2 x y e - y

Passo 2

Show! Agora vamos zerar as derivadas parciais:

∂ f ∂ x x , y = 0  

2 x - 2 y e - y = 0

2 x - 2 y = 0

⇒ x = y

∂ f ∂ y x , y = 0

  - 2 x - x 2 + 2 x y e - y = 0

⇒   - 2 x - x 2 + 2 x y = 0

Obtivemos um sistema que basicamente vai ser uma equação de segundo grau, saca só:

x = y - 2 x - x 2 + 2 x y = 0    

  - 2 x - x 2 + 2 x 2 = 0

x 2 - 2 x = 0

x x - 2 = 0

⇒   x = y = 0   ou   x = y = 2

Logo, os pontos críticos da f são: ( 0,0 ) e ( 2,2 ) .

Por enquanto tá sussa né? Vamos continuar!

Passo 3

Já fizemos a primeira parte da questão, achamos os pontos críticos. Agora temos que classificá-los, usando o teste da derivada segunda. Lembrando que temos:

∂ f ∂ x x , y = 2 x - 2 y e - y e ∂ f ∂ y x , y = - 2 x - x 2 + 2 x y e - y

Vamos calcular as derivadas segundas:

∂ 2 f ∂ x 2 x , y = 2 e - y

E com a regra do produto:

∂ 2 f ∂ y 2 x , y = 2 x e - y + - 2 x - x 2 + 2 x y - e - y = 2 x + 2 x + x 2 - 2 x y e - y

∂ 2 f ∂ y 2 x , y = 4 x + x 2 - 2 x y e - y

Agora, pras derivadas mistas vamos ter:

∂ ² f ∂ x ∂ y x , y = ∂ ² f ∂ y ∂ x x , y = - 2 - 2 x + 2 y e - y

Passo 4

Agora podemos aplicar o teste da derivada segunda pros dois pontos críticos. Vamos começar com o ponto ( 0,0 ) :

H 0,0 = ∂ 2 f ∂ x 2 0,0 ∂ 2 f ∂ x ∂ y ( 0,0 ) ∂ ² f ∂ y ∂ x 0,0 ∂ 2 f ∂ y 2 0,0 = 2 - 2 - 2 0 = 2 * 0 - - 2 * - 2 = - 4 < 0

Logo, o ponto ( 0,0 ) é ponto de sela.

Vamos dar uma olhada agora no ponto ( 2,2 ) :

H 2,2 = ∂ 2 f ∂ x 2 2,2 ∂ 2 f ∂ x ∂ y ( 2,2 ) ∂ ² f ∂ y ∂ x 2,2 ∂ 2 f ∂ y 2 2,2 = 2 e - 2 - 2 e - 2 - 2 e - 2 4 e - 2

H 2,2 = 4 * 2 * e - 4 - - 2 * - 2 * e - 4 = 4 e - 4 > 0

Além disso:

∂ 2 f ∂ x 2 2,2 = 2 e - 2 > 0

Então o ponto ( 2,2 ) é um ponto de mínimo local.

Passo 5

b) Nós queremos os pontos de máximo e mínimo da f no quadrado. Vamos examinar os possíveis candidatos, analisando o interior e a borda do quadrado.

No interior do quadrado, temos um candidato a mínimo, que é ponto ( 2,2 ) , um ponto crítico da f , como vimos na questão anterior.

Podemos notar também que os vértices do quadrado são candidatos a máximo e mínimo, pois eles são os extremos da região. Isso nos dá mais 4 candidatos: os pontos ( 0,0 ) , ( 0,3 ) , ( 3,0 ) e ( 3,3 ) .

Observação: o ponto ( 0,0 ) é, inclusive, um ponto crítico da f , como vimos na letra a).

Vamos analisar agora os lados do quadrado um por um. Repare que vamos sempre ter uma coordenada variando de 0 a 3 enquanto outra fica fixada. Ou seja, na borda do quadrado a f só depende de uma variável.

Por isso, pra facilitar nossa conta, vamos criar uma função de uma variável para cada lado e determinar os pontos críticos dessas funções. Esses pontos críticos também vão ser candidatos a máximo ou mínimo da f   no quadrado. Ficou confuso? Relaxa que não é tão complicado, dá uma olhada:

Lado 1: y = 3 e 0 < x < 3

f 1 x = f x , 3 = x 2 - 6 x e - 3

f 1 ' x = ( 2 x - 6 ) ( e - 3 )

f 1 ' x = 0 ⇒ x = 0 ou x = 3

Logo, f 1 não tem nenhum ponto crítico em ] 0,3 [ .

Lado 2: x = 3 e 0 < y < 3

f 2 y = f 3 , y = 9 - 6 y e - y

f 2 ' y = - 6 e - y + 9 - 6 y - e - y = - 15 + 6 y e - y

f 2 ' x = 0 ⇒   - 15 + 6 y = 0   ⇒ y = 15 6 = 5 2   ∈   ] 0,3 [

Opa! Achamos um ponto crítico! O ponto ( 3 , 5 2 ) .

Lado 3: y = 0 e 0 < x < 3

f 3 x = f x , 0 = x ²

f 3 ' ( x ) = 2 x

f 3 ' x = 0   ⇒     x = 0

Nada de ponto crítico pra f 3 em ] 0,3 [ , então vamos pro lado 4!

Lado 4: Nem precisamos usar a f 4 , pois a f se anula no lado 4 todo, porque x = 0 e f 0 , y = 0

Opa, então podemos substituir os candidatos ( 0,0 ) e ( 0,3 ) que tínhamos por ( 0 , y ) , com 0 ≤ y ≤ 3

Show! Agora já temos todos os nossos pontos candidatos a máximo ou mínimo da f no quadrado:

2,2 - 0 , y ; 0 ≤ y ≤ 3 - 3,0 - 3 , 5 2 - ( 3,3 )

Passo 6

Agora só nos resta determinar qual ponto é o máximo e qual é o mínimo. Basta calcular o valor da função nesses pontos:

O máximo é 9 pois esse é o único valor positivo. Já o mínimo não é tão fácil de determinar, só tem valor estranho com exponencial: - 4 e - 2 ;   - 9 e - 3 e - 6 e - 5 2 . O valor que tiver o maior módulo vai ser o mais distante de 0 e, portanto, o mínimo de f .

Então pra resolver isso vamos começar pegando dois valores e fazendo a razão deles. Se der maior do que 1, o numerador tem maior módulo, se der menor que 1, o denominador que tem o maior módulo. Que tal?

- 4 e - 2 - 9 e - 3 = 4 e 3 9 e 2 = 4 e 9 ≈ 4 * 2,7 9 = 10,8 9 > 1

Ou seja:

- 4 e - 2 > - 9 e - 3

- 4 e - 2 < - 9 e - 3

Vamos testar o - 6 e - 5 2 agora:

- 4 e - 2 - 6 e - 5 2 = 4 e 5 2 6 e 2 = 2 e 2 + 1 2 3 e 2 = 2 e 2 e 1 2 3 e 2 = 2 3 e

Ih! E agora? Isso dá mais ou menos que 1? Calma, só tem três possibilidades:

1     e < 3 2   ⇒   2 3 e < 1   ou

2     e > 3 2   ⇒   2 3 e > 1     ou

3     e = 3 2   ⇒   2 3 e = 1  

Mas podemos ver que a opção ( 2 ) é a certa, olha só:

3 2 2 = 9 4 = 2,25 < e  

3 2 2 < e

⇒   3 2 < e

Logo,

2 3 e = - 4 e - 2 - 6 e - 5 2 > 1

- 4 e - 2 > - 6 e - 5 2

⇒   - 4 e - 2 < - 6 e - 5 2

Portanto, o mínimo da função f no quadrado vale - 4 e - 2 e é atingido no ponto ( 2,2 ) , e o máximo é 9 , no ponto ( 3,0 ) .

Resposta

a) Os pontos críticos da f são o ponto de sela ( 0,0 ) e o mínimo local ( 2,2 ) .

b) O mínimo e o máximo da f no quadrado são, respectivamente, - 4 e - 2 (atingido em ( 2,2 ) ), e 9 (atingido em ( 3,0 ) ).

Exercícios de Livros Relacionados

Entre todos os triângulos de perímetro igual a 10 cm, encont
Dada a função z = a x 2 + b y 2 + c , analisar os pontos crí