Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos Globais numa Região Fechada

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Enunciado

Considere a função f x , y = x 2 - y 2 e a região D = x , y ∈ R 2 ; x 2 + y 2 ≤ 4 .  

  1. Determine, caso existam, os extremos locais de f no interior de D

Passo 1

Oi, tudo bem? Vou te ajudar a resolver esse problema, vamos lá? O problema deu essa função aqui

f x , y = x 2 - y 2

E um região D

D = x , y ∈ R 2 ; x 2 + y 2 ≤ 4

f , dentro da região D . Mas como fazer isso?

O interior de D é o disco de raio 2 e centro na origem, e que é dado pela desigualdade

x 2 + y 2 < 4

Os pontos críticos são encontrados onde as componentes do gradiente de f é nulo. E esses pontos precisam satisfazer essa desigualdade

Então a ideia é calcular o gradiente, igualar cada componente a zero e verificar se temos pontos que estejam dentro dessa desigualdade

Tranquilo?

Partiu começar?

Passo 2

O gradiente da função f é

f = x 2 - y 2

∇ f = 2 x , - 2 y = ( 0,0 )

Tudo bem até aqui?

Isso só é satisfeito se x = y = 0

Passo 3

Agora precisamos classificar esse ponto crítico. Lembrando da matriz Hessiana

H f x , y = f x x f x y f y x f y y

f = x 2 - y 2

E as parciais

f x = 2 x ,   f x x = 2

f y = - 2 y ,   f y y = - 2

f x y = 0

Substituindo temos

H f x , y = 2 0 0 - 2 = 2 . - 2 - 0 = - 4 < 0

Como a hessiana deu menor do que zero, temos que esse ponto que encontramos se trata de um ponto de sela no interior de D . E concluímos também que não há pontos de extremos locais de f em D

Belezinha?

Até a próxima!

Resposta

0,0 : p o n t o   d e   s e l a

n ã o   h á   e x t r e m o s   l o c a i s

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