Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos Globais numa Região Fechada

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Enunciado

Considere a função f x , y = x y e o domínio

R = x , y ∈ R 2   ;   - 1 ≤ x ≤ 1   e - 1 ≤ y ≤ 1

Considere as afirmativas:

  1. f tem dois pontos de máximo absoluto em R
  2. f tem dois pontos de mínimo absoluto em R
  3. O valor máximo absoluto de f em R é 1.
  4. O valor mínimo absoluto de f em R é 0.
  5. f tem apenas um ponto crítico no interior de R

Assinale a alternativa correta:

  1. Apenas as afirmativas II e IV são falsas
  2. Todas as afirmativas são verdadeiras
  3. Todas as afirmativas são falsas
  4. Apenas a afirmativa IV é falsa
  5. Apenas a afirmativa V é falsa

Passo 1

Para encontrar os pontos de máximo e mínimo globais de uma função com restrição o processo é sempre o mesmo: Verificar se há um ponto crítico dentro da região, e verificar se há máximos e mínimos na fronteira da região.

Verificando pontos críticos dentro da região:

f x , y = x y  

f x x , y = y

f y x , y = x

Como nos pontos críticos temos as derivadas nulas, então

y = 0

x = 0

Logo, temos apenas um ponto crítico:

P 0 = 0,0

E esse ponto está dentro da região R . Beleza, então vamos guardar ele.

Passo 2

Então guardamos o ponto 0,0 . Também precisamos guardar os vértices do quadrado que é a nossa região.

São os pontos:

- 1 ,   - 1 ,   1 ,   1 ,   - 1 ,   1 ,   1 ,   - 1

Portanto, temos mais 4 pontos candidatos a máximo e mínimo.

Passo 3

Agora, devemos verificar pontos de máximo ou mínimo na fronteira.

Assim, temos 4 lados a serem verificados:

Quando L 1 → x = - 1 ;   - 1 ≤ y ≤ 1 L 2 → x = 1 ;   - 1 ≤ y ≤ 1 L 3 → y = - 1 ;         - 1 ≤ x ≤ 1 L 4 → y = 1 ;   - 1 ≤ x ≤ 1 em que L 1 ,   L 2 ,   L 3 ,   L 4 são os lados do quadrado.

Em cada lado a função só depende de uma variável, e nós temos que achar os pontos críticos dessas 4 “subfunções”.

Passo 4

Comecemos pelo lado L 1 e L 2 . Lembrando a nossa função:

f x , y = x y

E o primeiro lado:

L 1 → x = - 1 ;   - 1 ≤ y ≤ 1

E o segundo lado:

L 2 → x = 1 ;   - 1 ≤ y ≤ 1

Substituindo o lado na função:

f ∓ 1 , y = ∓ y

Temos que achar o valor de máximo dessa função, vamos derivar e igualar a zero. Neste caso derivamos em relação a y

∓ 1 = 0

Logo, não há ponto crítico nesses lados.

Passo 5

Agora precisaríamos verificar os lados L 3 e L 4 . Mas, se você reparar, a analise desses lados cairá na mesma situação que tivemos na análise dos lados L 1 e L 2 , só que em relação ao x .

Assim, também não existem pontos crítios nos lados L 3 e L 4 .

Passo 6

Ok, agora já temos todo o material necessário para terminar de vez com isso e dizer quais são os pontos de máximo e mínimo!

Os nossos candidatos são os pontos:

0,0

- 1 ,   - 1

1 ,   1

  - 1 ,   1

1 ,   - 1

Passo 7

Só nos resta calcular o valor da função em cada ponto. Lembrando que

f x , y = x y

Então temos

f 0 ,   0 = 0.0 = 0

f - 1 , -   1 = - 1 . - 1 = 1

f 1 ,   1 = 1.1 = 1

f - 1 ,   1 = - 1.1 = - 1

f 1 ,   - 1 = 1 . - 1 = - 1

Passo 8

Show, então temos que f tem dois pontos de máximo absoluto e dois pontos de mínimo absoluto em R e que o valor máximo e mínimo de f em R são, respectivamente, 1 e -1 e f tem apenas um ponto crítico no interior de R .

Assim, apenas a afirmativa IV é falsa.

Resposta

L e t r a   d

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