Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos Globais numa Região Fechada

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Enunciado

Os valores máximo e mínimo absolutos de

f x , y = x 3 - y + 1

Na região

D = x , y ∈ R 2   ; x ≤ 1 ,   y ≤ 1   e   x + y ≥ 1

São, respectivamente:

  1. 2   e   0
  2. 1   e   0
  3. 1   e - 1 2
  4. 3   e - 1 2
  5. 2   e   1

Passo 1

Para encontrar os pontos de máximo e mínimo globais de uma função com restrição o processo é sempre o mesmo: Verificar se há um ponto crítico dentro da região, e verificar se há máximos e mínimos na fronteira da região.

Verificando pontos críticos dentro da região:

f x , y = x 3 - y + 1  

f x x , y = 3 x 2 = 0

f y x , y = - 1 = 0

EITA, - 1 = 0 não pode né?

Isso significa que a função não tem pontos críticos dentro da região.

Passo 2

Vamos agora pegar os vértices da nossa região.

Primeiro vamos entender qual é essa região. Plotando as retas do conjunto, temos

Mas, como na verdade não temos igualdades e sim desigualdades, nossa região corresponde a área interior desse triangulo aí.

E os pontos dos vértices são esses pontos marcados:

0 , 1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   0

Portanto, temos 3 pontos candidatos a máximo e mínimo.

Passo 3

Agora, devemos verificar pontos de máximo ou mínimo na fronteira.

Assim, temos 3 lados a serem verificados:

Quando L 1 → x = 1 ;   0 ≤ y ≤ 1 L 2 → y = 1 ;   0 ≤ x ≤ 1 L 3 → y = 1 - x em que L 1 ,   L 2 ,   L 3 são os lados do triangulo.

Em cada lado a função só depende de uma variável, e nós temos que achar os pontos críticos dessas 3 “subfunções”.

Passo 4

Comecemos pelo lado L 1 . Lembrando a nossa função:

f x , y = x 3 - y + 1  

E o primeiro lado:

L 1 → x = 1 ;   0 ≤ y ≤ 1

Substituindo o lado na função:

f 1 , y = 1 3 - y + 1 = 2 - y

Temos que achar o valor de máximo dessa função, vamos derivar e igualar a zero. Neste caso derivamos em relação a y

- 1 = 0

De novo, não pode isso, então não temos pontos críticos nesse lado.

Passo 5

Agora precisamos fazer o mesmo pro segundo lado L 2 :

L 2 → y = 1 ;   0 ≤ x ≤ 1

Substituindo esse lado na função, teremos:

f x , 1 = x 3 - 1 + 1 = x 3

Temos que achar os pontos críticos dessa função, vamos derivar e igualar a zero. Neste caso derivamos em relação a x

3 x 2 = 0

x = 0

Então temos o ponto

0 , 1

Mas esse nós já separamos quando pegamos os vértices do triangulo, então não acrescentou nada de novo.

Passo 6

Vamos verificar para o terceiro lado L 3 :

L 3 ��� y = 1 - x

Substituindo-o na função:

f x , 1 - x = x 3 - ( 1 - x ) + 1

Desenvolvendo,

f x , 1 - x = x 3 + x

Neste caso derivamos em relação a x

3 x 2 + 1 = 0

x 2 = - 1 3

Isso também é impossível, logo, não temos candidatos sobre esse lado também.

Passo 7

Ok, agora já temos todo o material necessário para terminar de vez com isso e dizer quais são os pontos de máximo e mínimo!

Os nossos candidatos são os pontos:

0,1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   0

Passo 8

Só nos resta calcular o valor da função em cada ponto. Lembrando que

f x , y = x 3 - y + 1

Então temos

f 0,1 = 0 3 - 1 + 1 = 0

f 1 ,   1 = 1 3 - 1 + 1 = 1

f 1 ,   0 = 1 3 - 0 + 1 = 2

Show, então o valor mínimo global é 0 e o valor máximo global é 2 .

Resposta

L e t r a   a

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