Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos Globais numa Região Fechada

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Enunciado

Seja f : D → R a função definida por

f ( x ,   y )   =   x +   y - x y

Onde D é a região triangular fechada com vértices 0,0 ,   0,2 ,   ( 4,0 ) . Preencha os espaços abaixo:

  • O valor máximo absoluto de f é :
  • O valor mínimo absoluto de f é:

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O problema nos dá uma função e pede os pontos de máximo e mínimo em uma região. Bom pra fazer isso precisamos seguir os seguintes passos:

  1. Desenhar a região: sem o desenho desse triângulo e as funções que delimitam não vai rolar! Então, desenho nele!
  2. Achar os pontos críticos da função (sem envolver a restrição ainda): derivar parcialmente a função e igualar a zero. Daí deve sair algum ponto, e esse ponto a gente pode classificar entre máximo, mínimo e de sela.
  3. Depois disso verificar se na região de fronteira há alguma coisa: parametrizar as retas que delimitam a região r , substituir na função f , derivar e igualar a zero. Aí devem sair alguns pontinhos pra gente analisar.
  4. E com todos os pontos na mão, substituir na função f e achar qual é o maior e o menor.

Beleza?

Tenso né? Mas calma, vou fazer com você. Me segue para o passo a passo!

Passo 2

Agora a região r . Os vértices do triângulo delimitam nossa região. Os vértices são:

0,0 ,   4,0 ,   ( 0,2 )

Colocando esses pontos num plano cartesiano temos a seguinte região:

A equação da reta que passa pela hipotenusa do triângulo é:

0 2 4 0 x y 0 2 = 0

Pra resolver essa parte é bem tranquilo: multiplica os elementos da diagonal principal (em AZUL) e os elementos da diagonal secundária (em VERMELHO E trocando o sinal):

0.0 + 4 y + 2 x - 8 - 0 - 0 = 0

2 y + x - 4 = 0

y = - x 2 + 2

Tá, guarda essa equação da reta!

Passo 3

Agora vamos aos pontos críticos da função: derivar parcialmente f e igualar cada uma a zero.

f x , y = x +   y - x y

f x = 1 - y = 0 ∴ y = 1

f y = 1 - x = 0 ∴ x = 1

Daqui temos que o ponto ( 1,1 ) é crítico. Agora vamos classificar esse bichinho.

Derivando mais uma vez pra fazer o teste da derivada segunda:

f x x = 0

f y y = 0

f x y = - 1

E o hessiano é:

D = f x x f y y - f x y 2 = 0.0 - - 1 2 = - 1 < 0

D < 0 temos um ponto de sela! Esse ponto não vai ser nem de máximo e nem de mínimo no final, espere e verás!

Passo 4

Agora vamos em busca de pontos na fronteira: parametrização!

Vamos parametrizar cada segmento e ir percorrendo a função com cada um deles, buscando possíveis candidatos. A ideia aqui é: substituir a parametrização, derivar e igualar zero. Os valores de t encontrados são os pontos nos quais a derivada é igual a zero e o ponto crítico.

Para a base do triângulo: r 1 = ( t ; 0 ) , com t ∈ [ 0,4 ] :

f x , y = x +   y - x y

f t = t + 0 - t . 0 = t

f ' t = 1 ≠ 0

Então nesse segmento não temos pontos críticos.

calma, ainda faltam outros segmentos!

Para a altura do triângulo: r 2 = ( 0 ; t ) , com t ∈ [ 0,2 ] :

f x , y = x +   y - x y

f t = t + 0 - t . 0 = t

f ' t = 1 ≠ 0

Então nesse segmento também não temos pontos críticos.

E agora na hipotenusa (aqui que entra aquela equação do passo 1!!! Chamando x = t o y vai ser igual aquela equação lá, é só trocar x por t !):

r 3 = ( t ;   - t 2 + 2 )

f x , y = x + y - x y

f t = t 2 + 2 + t 2 2 - 2 t = - 3 2 t + t 2 2 + 2  

f ' t = - 3 2 + t = 0 ∴ t = 3 / 2

Ará! Aqui sim encontramos um ponto crítico!

Agora vamos descobrir que ponto é esse:

x = t ∴ x = 3 / 2

y = - t 2 + 2 ∴ y = 5 / 4  

Então os pontos críticos são: os extremos do intervalo ( P 1 0,0 ,   P 2 0,2 ,   P 3 ( 4,0 ) e dentro do triângulo P 4 3 2 , 5 4 e P 5 ( 1,1 ) (esse último é de sela!).

Passo 5

Agora com os pontos na mão, vamos testar na função pra ver qual é maior/menor:

f x , y = x + y - x y

( P 1 0,0 ,   P 2 0,2 ,   P 3 ( 4,0 ) P 4 3 2 , 5 4 e P 5 ( 1,1 )

f P 1 = 0

f P 2 = 0 + 2 - 0 = 2

f P 3 = 4 + 0 - 0 = 4

f P 4 = 3 2 + 5 4 - 3 2 . 5 4 = 3 2 + 5 4 - 15 8 = 7 8

f P 5 = 1 + 1 - 1.1 = 1

Então temos:

  • p o n t o   d e   m á x i m o : 4,0 , máximo absoluto f = 4
  • p o n t o   d e   m í n i m o : ( 0,2 ) , mínimo absoluto f = 0
  • ufa! Terminamos!

    Espero ter ajudado!

    Resposta

  • p o n t o   d e   m á x i m o : 4,0 , máximo absoluto f = 4
  • p o n t o   d e   m í n i m o : ( 0,2 ) , mínimo absoluto f = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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