Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos Globais numa Região Fechada

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Enunciado

Seja f x , y = 1 + 4 x - 5 y definida na região triangular fechada D com vértices 0,0   ,   2,0 e ( 0,3 ) . Qual das afirmativas abaixo é verdadeira?

  1. O máximo absoluto de f em D é 4 e o mínimo absoluto de f em D é - 17
  2. O máximo absoluto de f em D é 11 e o mínimo absoluto de f em D é - 14
  3. O máximo absoluto de f em D é 9 e o mínimo absoluto de f em D é - 14
  4. O máximo absoluto de f em D é 9 e o mínimo absoluto de f em D é - 17
  5. Não sei

Passo 1

Vamos começar visualizando o conjunto D . Marcando os pontos, temos:

Então o problema consiste em procurar máximos e mínimos globais dentro dessa região fechada e limitada.

Passo 2

Vamos achar os pontos críticos da função, igualando as derivadas parciais a zero:

f x x , y ,   f y x , y = 0 ,   0

Temos

f x x , y = 4

f y x , y = - 5

Ou seja, a função não tem pontos críticos. Logo, os máximos e mínimos globais só podem estar na fronteira dessa região.

Passo 3

Analisando a fronteira, temos de encontrar a equação da reta que une os pontos 2,0 e 0,3 . A equação é:

y = a x + b

Substituindo o ponto 0,3 :

3 = a 0 + b

b = 3

No ponto 2,0 :

0 = a 2 + 3

a = - 3 2

Então:

y = - 3 2 x + 3

Para 0 ≤ x ≤ 2

Passo 4

Então temos os lados:

Lados L 1 → x = 0 ;   0 ≤ y ≤ 3 L 2 → y = 0 ;   0 ≤ x ≤ 2 L 3 → y = - 3 2 x + 3 ;   0 ≤ x ≤ 2 em que L 1 ,   L 2 ,   L 3 são os lados do triângulo.

Vamos verificar se há máximos e mínimos da função sobre esses lados, não esquecendo que os vértices também são candidatos a valores extremos.

Passo 5

Comecemos pelo lado L 1 . Lembrando a nossa função:

f x , y = 1 + 4 x - 5 y

E o primeiro lado:

L 1 → x = 0   ;   0 ≤ y ≤ 3

Substituindo o lado na função:

f 0 , y = 1 - 5 y

Derivando temos:

f ' 0 , y = - 5

Logo não há pontos candidatos a máximos e mínimos em L 1 .

Passo 6

Lado L 2 : Lembrando a nossa função:

f x , y = 1 + 4 x - 5 y

O lado é :

L 2 → y = 0   ;   0 ≤ x ≤ 2

Substituindo o lado na função:

f x , 0 = 1 + 4 x

Derivando temos:

f ' x , 0 = 4

Logo não há pontos candidatos a máximos e mínimos em L 2 .

Passo 7

Lado L 3 : Lembrando a nossa função:

f x , y = 1 + 4 x - 5 y

Temos:

L 3 → y = - 3 2 x + 3   ;   0 ≤ x ≤ 2

Substituindo o lado na função:

f x , 0 = 1 + 4 x + 15 2 x - 15

Derivando temos:

f ' x , 0 = 23 2

Logo não há pontos candidatos a máximos e mínimos em L 3 .

Passo 8

Então só temos os vértices da região como candidatos. Testando seus valores, temos:

f 0,0 = 1

f 2,0 = 9

f 0,3 = - 14

Logo o máximo absoluto de f em D é 9 e o mínimo absoluto de f em D é - 14 .

Resposta

c) O máximo absoluto de f em D é 9 e o mínimo absoluto de f em D é - 14

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