Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos Globais numa Região Fechada

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Enunciado

Sejam C = { x , y , z   ∈ R 3 : x + y + z = 1   e   y 2 + z 2 = 16 } e f : R 3 → R , dada por f x , y , z = x + 4 y . Se m e M são, respectivamente os valores mínimo e máximo de f sobre C , então:

a . m M = 2

b . m M = - 159

c . m M = 8 10

d .   f não admite pontos de máximo e mínimo sobre C

e . m M = 1 - 4 10 1 + 4 10

Passo 1

Fala povo, tudo certo?

Vamos encarar mais um problema de máximo e mínimos de funções de várias variáveis!! Mas fica tranquilo que a gente junto consegue resolver \o/

Note inicialmente que C não é compacto (intersecção da esfera, compacta, com o plano, fechado) e f é contínua, portanto existem tais m e M indicados no enunciado.

Pra gente encontrar esse ponto de máximo vamos precisar recorrer aos nossos famosos multiplicadores de Lagrange (com uma restrição nesse caso).

Vamos chamar de g x , y , z = x + y + z - 1 e h x , y , z = y 2 + z 2 - 16

Passo 2

Lembrando que o ponto procurado deve satisfazer as condições de:

∇ f x , y , z ,   ∇ g x , y , z ,   ∇ h ( x , y , z ) devem ser linearmente independentes

g x , y , z = 0

h x , y , z = 0

A primeira condição equivale aos nossos famosos multiplicadores de Lagrange, onde:

∇ f x , y , z = λ ∇ g x , y , z + μ ∇ h ( x , y , z )

Onde λ   e μ são os multiplicadores de Lagrange!

Note que ∇ g ( x , y , z ) e ∇ h ( x , y , z ) são linearmente independentes ao longo de C , uma vez que caso isso não fosse verdade, estaríamos somando duas coisas que dependem uma das outras na solução final.

Passo 3

Outra condição que temos é que:

∇ f x , y , z ,   ∇ g x , y , z ,   ∇ h x , y , z = 0

g x , y , z = x + y + z - 1

h x , y , z = y 2 + z 2 - 16

f x , y , z = x + 4 y

∇ f x , y , z = 1,4 , 0

∇ g = 1,1 , 1

∇ h = ( 0 ,   2 y , 2 z )

Passo 4

Pelas condições dadas temos a relação de 1 = 0 e isso implica dizer que o sistema terá a seguinte forma:

y - z 1 - 4 = 0

x + y + z = 1

y 2 + z 2 = 16

A solução deste problema nos dá que:

x = 1 ± 8 10

y = ± 12 10

z = ± 4 10

Passo 5

Logo, temos que os seguintes pontos então:

P 1 = 1 - 8 10 ,   - 12 10 , 4 10

P 2 = 1 + 8 10 ,   12 10 , - 4 10

Desta maneira, temos que:

m = f P 2 = 1 - 4 10

M = f P 1 = 1 + 4 10

Logo,

m M = - 159

Resposta

( b )

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