Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos Globais numa Região Fechada

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Enunciado

Seja f x , y = x 2 + x - y 2 e D = x , y ∈ R 2 ; 2 x - 1 2 + y - 1 2 ≤ 4 . Então:

a   O máximo absoluto de f é atingido no interior de D

b O máximo absoluto de f é atingido na fronteira de D

c   f não possui mínimo absoluto em D

d   f não possui máximo absoluto em D

e O mínimo absoluto de f é atingido no interior de D

Passo 1

Consideremos f como sendo a função definida na região D . Vamos verificar se há máximos e mínimos no seu interior.

Vamos calcular as derivadas parciais de f x , y e igualar a zero para encontrar os pontos críticos. Temos:

f x = 2 x + 1 = 0

x = - 1 2

Temos também:

f y = - 2 y = 0

y = 0

Então temos o ponto - 1 2 , 0 . Porém perceba que ele não está na região D . Logo ele não será um candidato a máximo e míninimo. Ou seja, não existem máximo e mínimos no interior da região D .

Com isso, descartamos letra a ) e letra e )

Passo 2

Agora temos de lembrar do teorema que diz o seguinte: “ Se f for contínua em um conjunto fechado e limitado D de R 2 , então f assume um valor máximo absoluto e um valor mínimo absoluto no interior de D ou na fronteira de D . “

Isso quer dizer o seguinte, se f for contínua e limitada numa região, ou f tem máximos e mínimos absolutos no interior dessa região ou então os pontos de máximo e mínimo absolutos estão na fronteira dessa região.

Bom, f é uma função polinomial e portanto contínua. Se não temos pontos de máximo e mínimo absolutos no interior de D , certamente eles existem e estão na fronteira de D .

Portanto, descartamos letras c )   e d ) .

Logo o gabarito é letra b ) , pois se o máximo absoluto não está no interior de D , certamente está na fronteira de D .

Resposta

Letra b  

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