Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos Globais numa Região Fechada

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Enunciado

2 - Encontre o máximo e mínimo globais de cada uma das seguintes funções:

a) f x , y = s e n x + s e n y + s e n x + y , 0 ≤ x ≤ π / 3 , 0 ≤ y ≤ π / 3 ;

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão foi dada uma função f e devemos calcular seus pontos de máximos e mínimos dentro da região delimitada por 0 ≤ x ≤ π / 3 e 0 ≤ y ≤ π / 3 .

Mas e aí? Como vamos descobrir os pontos de máximos e mínimos se considerarmos apenas a função dentro da área delimitada??

Veja só! Se encontrarmos os pontos críticos de f , podemos ignorar os pontos que estiverem fora da região. Não é?

A diferença é que nas bordas da região, talvez o ponto de máximo ou mínimo não seja um ponto crítico, então temos que usar um método diferente para esses casos. Perceba que a questão apenas nos pediu um máximo global e um mínimo global. Ou seja, queremos calcular (dentro da região) o ponto em que o valor de f é máximo e o ponto onde o valor de f é mínimo.

Mas vamos com calma, uma coisa de cada vez, primeiro vamos usar o método que já conhecemos.

Bora lá! 🐱‍👤

Passo 2

O método comum, é de calcular f x e f y e igualar a 0 , assim obtendo um sistema. As possíveis soluções desse sistema, serão os candidatos para máximos ou mínimos de f .

Vamos obter f x

f x = ∂ s e n x + s e n y + s e n x + y ∂ x

Como y se torna uma constante quando derivamos em relação a x , a derivada de s e n y é 0 .

f x = cos ⁡ x + c o s x + y

Vamos calcular f y , agora é a vez de x se comportar como uma constante, logo a derivada de s e n x = 0

f y = ∂ s e n x + s e n y + s e n x + y ∂ y

f y = cos ⁡ y + c o s x + y

Igualando a 0 , vamos obter um sistema

cos ⁡ x + c o s x + y = 0 cos ⁡ y + c o s x + y = 0

Vamos analisar a primeira equação.

cos ⁡ x + c o s x + y = 0

Calculando o a r c c o s dos dois lados, temos

x + x + y = cos - 1 ⁡ 0

2 x + y = cos - 1 ⁡ 0

Agora analisando a segunda equação.

cos ⁡ y + c o s x + y = 0

Calculando o a r c c o s dos dois lados da equação, temos

y + x + y = cos - 1 ⁡ 0

x + 2 y = cos - 1 ⁡ 0

Com isso, podemos concluir que

2 x + y = cos - 1 ⁡ 0 = x + 2 y

2 x + y = x + 2 y

x = y

x é igual a y ! Isso vai nos ajudar.

Passo 3

Também podemos escrever o sistema como

cos ⁡ x = - c o s x + y cos ⁡ y = - c o s x + y

Vamos pensar! Qual o valor podemos colocar no c o s para que este valor mais ele mesmo dê o mesmo resultado só que negativo?

O cos ⁡ π = - 1 e o cos ⁡ 2 π = 1 !

Ou seja, x = y = k π , onde k é uma constante inteira.

Com isso, descobrimos que os pontos para k = 0 ,     0,0 , k = 1 ,     π , π , k = 2 ,     2 π , 2 π ...

São pontos críticos.

Porém estamos limitados pela nossa região, então apenas nos interessa o ponto P 1 = 0,0 já que a partir de k = 1 , o ponto está fora da região.

Agora temos que olhar para as bordas da região

Pra isso, vamos ver o comportamento da função quando x = 0 , x = π / 3 , y = 0 e y = π / 3 .

Substituindo 0 em x temos.

s e n 0 + s e n y + s e n 0 + y → 2 s e n y

Obtemos uma função s e n de amplitude 2 .

Dentro do intervalo 0 ≤ y ≤ π / 3 , a função s e n só cresce, logo, o ponto P 2 = 0 , π 3 entra para a nossa lista!

Continuando com as substituições, vamos ver para x = π / 3

s e n π 3 + s e n y + s e n π 3 + y

Como a função s e n só cresce, entre 0 e π / 3 , os pontos P 3 = π 3 , π 3 e P 4 = π 3 , 0 entram para nossa lista de suspeitos.

Entendeu?

Passo 4

Agora, faremos o mesmo para as bordas perpendiculares ao eixo y .

Para y = 0 , temos

s e n x + s e n 0 + s e n x + 0 → 2 s e n x

Seguindo a mesma ideia do passo anterior, teríamos o ponto P 5 = π 3 , 0 mas observe que ele é o mesmo ponto P 4 .

Por fim, para y = π / 3 , temos

s e n x + s e n π 3 + s e n x + π 3

Não temos mais pontos para adicionar à nossa lista, já que os vértices do lado y = π / 3 já estão sob suspeitas.

Por último, a gente calcula o valor de f nos pontos encontrados e comparamos os resultados para ver qual é o máximo e qual é o mínimo.

Entendido?

Passo 5

Para o ponto P 1 = 0,0 , temos

f 0,0 = s e n 0 + s e n 0 + s e n 0 + 0

f 0,0 = 0

Para o ponto P 2 = 0 , π 3

f 0 , π 3 = s e n 0 + s e n π 3 + s e n 0 + π 3

f 0 , π 3 = 2 s e n π 3

f 0 , π 3 = 3

Para o ponto P 3 = π 3 , π 3

f π 3 , π 3 = s e n π 3 + s e n π 3 + s e n π 3 + π 3

f π 3 , π 3 = 2 s e n π 3 + s e n 2 π 3

f π 3 , π 3 = 3 + 3 2

Organizando um pouquinho mais, temos

f π 3 , π 3 = 3 3 2

Para o ponto P 4 = π 3 , 0

f π 3 , 0 = s e n π 3 + s e n 0 + s e n π 3 + 0

f π 3 , 0 = 2 s e n π 3

f π 3 , 0 = 3

Encontramos o valor de cada ponto, agora vamos compara-los

Passo 6

Comparando os valores de f para cada ponto, vemos que o menor ponto é o ponto P 1 , onde a função resultou em 0 .

Já o maior resultado, foi obtido pelo ponto P 3 , onde a função vale 3 3 / 2 .

Ou seja, nosso mínimo global dentro da região limitada é o ponto 0,0 . Já o máximo global dentro da região limitada é o ponto π 3 , π 3 .

Podemos conferir, observando o pedaço da função que está contida no intervalo.

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

Mínimo global: 0,0 , f 0,0 = 0 .

Máximo global: π 3 , π 3 , f π 3 , π 3 = 3 3 2 .

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