Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos Globais numa Região Fechada

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Enunciado

Encontre o máximo e o mínimo absoluto da função

f x , y = 4 x - x 2 cos ⁡ y

na placa retangular 1 ≤ x ≤ 3 ,   - π / 4 ≤ y ≤ π / 4 (veja figura a seguir).

Passo 1

Vamos achar os pontos críticos da função, igualando as derivadas parciais a zero:

f x x , y ,   f y x , y = 0 ,   0

Temos

f x x , y = 4 - 2 x cos ⁡ y

f y x , y = - 4 x - x 2 sen ⁡ y

Passo 2

Comecemos pela derivada parcial em relação a x :

f x x , y = 0

4 - 2 x = 0     o u   cos ⁡ y = 0

⇒ x = 2     o u     y = π 2 + k π ,   k   i n t e i r o

Vamos ver as restrições da placa retangular:

1 ≤ x ≤ 3     e   - π 4 ≤ y ≤ π 4

Portanto, sem problemas pra x = 2 , mas y = π 2 + k π não pode!

Então concluímos que x = 2 .

Passo 3

Agora zeremos a derivada parcial em relação a y :

f y x , y = 0

- 4 x - x 2 sen ⁡ y = 0

4 x - x 2 = 0     o u   sen ⁡ y = 0

4 x = x 2     o u   y = k π ,   k   i n t e i r o

Se 4 x = x 2 :

x = 0     o u     x = 4

Mas como 1 ≤ x ≤ 3 , nenhum dessas opções é válida.

Então nos sobra y = k π . Como - π 4 ≤ y ≤ π 4 , devemos ter y = 0 .

Portanto, f possui um ponto crítico nessa placa retangular: o ponto 2 ,   0 . Ele é o nosso primeiro candidato a ponto de máximo ou mínimo absoluto da função na placa.

Passo 4

Agora temos que analisar a fronteira do retângulo:

Vamos estudar os lados um por um e determinar que candidatos a ponto de máximo ou mínimo temos em cada um deles.

Passo 5

Os primeiros candidatos que podemos separar são os 4 vértices do retângulo, os pontos:

1 , π 4

3 , π 4

3 ,   - π 4

1 ,   - π 4

Agora sim vamos olhar os lados um por um.

Passo 6

Começando pelo lado de cima, onde

y = π 4     e     1 ≤ x ≤ 3

Assim, nesse lado a função passa a depender só de x :

f x , y = f x , π 4 = 4 x - x 2 cos ⁡ π 4

= 4 x - x 2 2 2

Derivando e igualando a zero:

f ' x , π 4 = 4 - 2 x 2 2 = 0

4 - 2 x = 0

⇒ x = 2

Portanto, o ponto 2 , π 4 é mais um candidato.

Passo 7

Vejamos agora o lado da direita:

x = 3     e   - π 4 ≤ y ≤ π 4

Agora a função só depende de y :

f x , y = f 3 ,   y = 4 3 - 3 2 cos ⁡ y

= 12 - 9 cos ⁡ y = 3 cos ⁡ y

Continuando:

f ' 3 ,   y = - 3 sen ⁡ y = 0

⇒ y = 0

Então achamos mais um ponto: 3 ,   0 .

Passo 8

Passamos agora pro lado de baixo:

y = - π 4     e     1 ≤ x ≤ 3

Nesse lado, temos

f x , y = f x ,   - π 4 = 4 x - x 2 cos ⁡ - π 4

= 4 x - x 2 2 2

Repare que a função ficou igual ao lado de cima. Da mesma forma, temos

f ' x ,   - π 4 = 4 - 2 x 2 2 = 0

4 - 2 x = 0

⇒ x = 2

Então encontramos mais um ponto: 2 , - π 4 .

Passo 9

Enfim chegamos ao último lado, o da esquerda, onde

x = 1     e - π 4 ≤ y ≤ π 4

Aqui temos

f x , y = f 1 ,   y = 4 - 1 cos ⁡ y = 3 cos ⁡ y

Essa ficou igual ao lado da direita. Assim,

f ' 1 ,   y = - 3 sen ⁡ y = 0

⇒ y = 0

Achamos o último candidato: o ponto 1 ,   0 .

Passo 10

Agora só nos resta calcular o valor da função em todos esses pontos e determinar qual é o mínimo global e qual é o máximo global:

Portanto, o valor máximo de f na placa retangular é 4 , atingido no ponto 2 ,   0 .

O valor mínimo é 3 2 2 , obtido nos pontos 1 , π 4 ,   3 , π 4 ,   3 ,   - π 4 e 1 ,   - π 4 .

Aliás, podemos ver que esses pontos são compatíveis com a figura.

Resposta

Máximo: 4 , em 2 ,   0 .

Mínimo: 3 2 2 , em 1 , π 4 ,   3 , π 4 ,   3 ,   - π 4 e 1 ,   - π 4 .

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