Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos Globais numa Região Fechada

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Enunciado

Suponha que T x , y = 4 x 2 + 9 y 2 representa o valor da temperatura em ° C sobre os pontos do plano x y .

  1. Determine o ponto de mais baixa temperaura da reta y + x - 1 = 0

Passo 1

  1. Podemos resolver o item b assim:
  2. O ponto está sobre a reta y = 1 - x

    Então, substituindo na função, vamos ter:

    f x = T x , 1 - x = 4 x 2 + 9 1 - x 2

    Devemos minimizar essa função. Derivando e igualando a zero:

    f ' x = 8 x + 18 1 - x - 1 = 0

    f ' x = 8 x - 18 + 18 x = 0

    26 x = 18

    x = 9 13

    Passo 2

    Agora, pra verificar se é mesmo um ponto de mínimo, vamos fazer a derivada segunda. Vai ficar:

    f ' ' x = 8 + 18 = 26

    Substituindo x = 9 13 :

    f ' ' 9 13 = 26 > 0

    Como f 9 13 > 0 , o ponto é de mínimo de f .

    Logo, o ponto 9 13 , 4 13 é o ponto de mais baixa temperatura da reta y + x - 1 = 0

    Resposta

  3. o ponto 9 13 , 4 13

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