Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos Globais numa Região Fechada

Cálculo 2 UERJ, Lista 4 Prof. Hamilton, exercício 8b

Encontre os pontos de máximo e mínimo globais da função f x , y = x 3 + y 3 - 3 x - 3 y dentro de A = { x , y R 2   ;   0 x 1   e   y 4 } .

Passo 1

Para encontrar os pontos de máximo e mínimo globais de uma função com restrição o processo é sempre o mesmo: Verificar se há um ponto crítico dentro da região, e verificar se há máximos e mínimos na fronteira da região.

Verificando pontos críticos dentro da região:

f x , y = x 3 + y 3 - 3 x - 3 y  

f x x , y = 3 x 2 - 3

f y x , y = 3 y 2 - 3

Assim,

f x , y = ( 3 x 2 - 3   ,   3 y 2 - 3 )

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Passo 2

Como nos pontos críticos f x , y = 0 ,   0 , então

3 x 2 - 3 = 0 x = ± 1

3 y 2 - 3 = 0 y = ± 1

Logo, temos 4 pontos críticos, que são as combinações dos x e y que encontramos. São eles:

P 0 = 1,1

P 1 = 1 , - 1

P 2 = - 1 , - 1

P 3 = - 1,1

Os pontos P 2 = ( - 1 , - 1 ) e P 3 = ( - 1,1 ) já podem ser descartados, já que eles ficam fora da região que estamos considerando ( 0 x 1 ).

Passo 3

Então guardamos os pontos 1 ,   1 e 1 ,   - 1 . Também precisamos guardar os vértices do retângulo que é a nossa região.

São os pontos:

0 ,   - 4 ,   0 ,   4 ,   1 ,   4 ,   1 ,   - 4

Portanto, temos mais 4 pontos candidatos a máximo e mínimo.

Passo 4

Agora, devemos verificar pontos de máximo ou mínimo na fronteira.

Assim, temos 4 lados a serem verificados:

Quando L 1 x = 0 ;   - 4 y 4 L 2 x = 1 ;   - 4 y 4 L 3 y = 4 ;           0 x 1 L 4 y = - 4 ;   0 x 1 em que L 1 ,   L 2 ,   L 3 ,   L 4 são os lados do retângulo.

Em cada lado a função só depende de uma variável, e nós temos que achar os pontos críticos dessas 4 “subfunções”.

Passo 5

Comecemos pelo lado L 1 . Lembrando a nossa função:

f x , y = x 3 + y 3 - 3 x - 3 y

E o primeiro lado:

L 1 x = 0   ;   - 4 y 4

Substituindo o lado na função:

f 0 , y = y 3 - 3 y

Temos que achar o valor de máximo dessa função, vamos derivar e igualar a zero. Neste caso derivamos em relação a y

3 y 2 - 3 = 0

y 2 = 1

y = ± 1

Então temos pontos críticos em

0,1

E

0 , - 1

Passo 6

Agora precisamos fazer o mesmo pro segundo lado L 2 :

L 2 x = 1   ;   - 4 y 4

Substituindo esse lado na função, teremos:

f 1 , y = 1 + y 3 - 3 - 3 y

Desenvolvendo,

f 1 , y = y 3 - 3 y - 2

Temos que achar os pontos críticos dessa função, vamos derivar e igualar a zero. Neste caso derivamos em relação a y

3 y 2 - 3 = 0

y 2 = 1

y = ± 1

Então temos os pontos

1,1

E

1 , - 1

Mas já vimos antes esses dois pontos como pontos críticos de f x , y , então o lado 2 não acrescentou nada de novo!

Passo 7

Vamos verificar para o terceiro lado L 3 :

L 3 y = 4   ;   0 x 1

Substituindo-o na função:

f x , 4 = x 3 + 64 - 3 x - 12

Desenvolvendo,

f x , 4 = x 3 - 3 x + 52

Neste caso derivamos em relação a x

3 x 2 - 3 = 0

x 2 = 1

x = 1

(lembrando que x 0 ) .

Assim, obtemos o ponto 1,4 . Mas ele nós já consideramos, é um vértice do retângulo!

Então o lado 3 também não acrescentou nada novo.

Passo 8

Finalmente!! Esse é o último lado! Aguente firme!!! Não tem nada de especial nele... só repetir o mesmo processo que fizemos até agora.

Quarto lado:

L 4 y = - 4   ; 0 x 1

Substituindo-o na função:

f x , - 4 = x 3 - 64   - 3 x + 12

Desenvolvendo,

f x , - 4 = x 3 - 3 x - 52

Temos que achar os pontos críticos, vamos derivar e igualar a zero. Neste caso derivamos em relação a x

3 x 2 - 3 = 0

x 2 = 1

x = 1

E vamos ter o ponto 1 ,   - 4 , que também já achamos!

Passo 9

Ok, agora já temos todo o material necessário para terminar de vez com isso e dizer quais são os pontos de máximo e mínimo!

Os nossos candidatos são os pontos:

1 ,   1

1 ,   - 1

0 , - 4

0 ,   4

1 ,   4

1 ,   - 4

0 ,   1

0 ,   - 1

Passo 10

Só nos resta calcular o valor da função em cada ponto. Lembrando que

f x , y = x 3 + y 3 - 3 x - 3 y

Então temos

f 1 ,   1 = 1 + 1 - 3 - 3 = - 4

f 1 ,   - 1 = 1 - 1 - 3 + 3 = 0

f 0 , - 4 = 0 - 64 - 0 + 12 = - 52

f 0 ,   4 = 0 + 64 - 0 - 12 = 52

f 1 ,   4 = 1 + 64 - 3 - 12 = 50

f 1 ,   - 4 = 1 - 64 - 3 + 12 = - 54

f 0 ,   1 = 0 + 1 - 0 - 3 = - 2

f 0 ,   - 1 = 0 - 1 - 0 + 3 = 2

Show, então os ponto de mínimo global e máximo global de f são, respectivamente, 1 ,   - 4 e 0 ,   4 .

O valor mínimo é - 54 e o valor máximo é 52 .

Resposta

m í n i m o   e m   f 1 , - 4 = - 54 m á x i m o   e m   f 0,4 = 52

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