Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos Globais numa Região Fechada

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Enunciado

Os valores máximo e mínimo absolutos de

f x , y = y - x 3 + 2  

Na região

D = x , y ∈ R 2   ; x ≤ 1 ,   y ≤ 1     e   x + y ≥ 1

São, respectivamente

a 3   e   1

b 2   e   0

c 2   e   1

d   1   e - 1 / 2

e 3   e - 1 / 2

Passo 1

Primeiramente, vamos identificar que região D é essa.

Ela é limitada pelas retas

x + y ≥ 1 ⇒ y ≥ 1 - x

x ≤ 1

y ≤ 1

Graficamente, temos esse triângulo limitado pelas retas azul, rosa e vermelha, respectivamente:

Então, teremos que buscar os candidatos a máximo e mínimo da nossa função dentro do triângulo e na fronteira dele.

Passo 2

Verificando os pontos críticos dentro da região:

f x , y = y - x 3 + 2  

f x x , y = - 3 x 2

f y x , y = 1

Igualando a zero:

- 3 x 2 = 0 → x = 0

1 = 0 → i m p o s s í v e l

Isso significa que não temos candidatos a máximo e mínimo no interior da nossa região.

Passo 3

Antes de passar pra fronteira da região, precisamos guardar os vértices do triângulo que é a nossa região.

São os pontos:

1,0 ,   1,1 ,   0,1

Portanto, temos 3 pontos candidatos a máximo e mínimo.

Passo 4

Vamos para a fronteira agora.

Vamos dividir nossa fronteira em 3:

•Lado 1: y = 1 - x  

• Lado 2: x = 1   ; 0 ≤ y ≤ 1

•Lado 3: y = 1   ; 0 ≤ x ≤ 1

Em cada lado a função só depende de uma variável, e nós temos que achar os pontos críticos dessas 3 “subfunções”.

Passo 5

Comecemos pelo lado L 1 . Lembrando a nossa função:

f x , y = y - x 3 + 2  

E o primeiro lado:

L 1 → y = 1 - x  

Substituindo o lado na função:

f x , 1 - x = 1 - x - x 3 + 2 = - x 3 - x + 3

Temos que achar o valor de máximo dessa função, vamos derivar e igualar a zero. Neste caso derivamos em relação a x

- 3 x 2 - 1 = 0

3 x 2 = - 1

Opa, isso aí não rola ne? Então não temos candidatos sobre o lado 1.

Passo 6

Agora precisamos fazer o mesmo pro segundo lado L 2 :

L 2 → x = 1   ; 0 ≤ y ≤ 1

Substituindo esse lado na função, teremos:

f 1 , y = y - 1 3 + 2

Desenvolvendo,

f 1 , y = y + 1

Temos que achar os pontos críticos dessa função, vamos derivar e igualar a zero. Neste caso derivamos em relação a y

1 = 0

Também não rola, né? Então também não temos candidatos sobre o lado 2.

Passo 7

Vamos verificar para o terceiro e último lado L 3 :

L 3 → y = 1   ; 0 ≤ x ≤ 1

Substituindo-o na função:

f x , 1 = 1 - x 3 + 2  

Desenvolvendo,

f x , 1 = - x 3 + 3

Neste caso derivamos em relação a x

- 3 x 2 = 0

x = 0

Assim, obtemos o ponto 0,1 . Mas ele nós já consideramos, é um vértice do triângulo!

Então o lado 3 também não acrescentou nada novo.

Passo 8

Ok, agora já temos todo o material necessário para terminar de vez com isso e dizer quais são os pontos de máximo e mínimo!

Os nossos candidatos são os pontos:

1,0 ,   1,1 ,   0,1

Passo 9

Só nos resta calcular o valor da função em cada ponto. Lembrando que

f x , y = y - x 3 + 2  

Então temos

f 1,0 = 0 - 1 3 + 2 = 1

f 1,1 = 1 - 1 3 + 2 = 2

f 0,1 = 1 - 0 3 + 2 = 3

Show, então os ponto de mínimo global e máximo global de f são, respectivamente, 1,0 e 0 ,   1 .

O valor mínimo é 1 e o valor máximo é 3 .

Resposta

Letra a

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