Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos Globais numa Região Fechada

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Enunciado

Identifique os pontos de máximo e mínimo globais da função f x , y = x 2 + x y + y 2 na região

D = x , y ∈ R 2 ; x ≤ 3   e   x 2 ≤ y ≤ 9 .

Passo 1

Para identificarmos os pontos de máximo e mínimo, precisamos antes encontrar os pontos críticos, ou seja, os pontos onde o gradiente é igual a zero.

∇ f x , y = 2 x + y ,   x + 2 y

Para esse gradiente ser nulo, precisamos de x e y igual a zero, ou seja, o ponto crítico é x , y = ( 0,0 ) .

Passo 2

Caímos em um probleminha, se você for observar,   0,0 não está no interior da região D , e sim em sua fronteira ( ∂ D ). Então não existem pontos críticos dentro, o que significa que os pontos de máximo e mínimo vão estar na fronteira.

Procurando pelos pontos na fronteira:

D = x , y ∈ R 2 ; x ≤ 3   e   x 2 ≤ y ≤ 9

∂ D = - 3 ≤ x ≤ 3 ; y = 9   e - 3 ≤ x ≤ 3 ,   y = x 2

Passo 3

Primeiro vamos ver o trecho y = 9 . Nossa função então fica:

f x , y = x 2 + x y + y 2

f x , 9 = x 2 + 9 x + 81

Calculando a derivada em função a x e igualando a zero, já que queremos os pontos de máximo e mínimo:

d f x , 9 d x = 2 x + 9 = 0

x = - 9 2

Se você for observar, x = - 9 2 não vai nos servir como ponto crítico, uma vez quem - 9 2 <   - 3 , então não vai existir um ponto crítico nesse pedaço da fronteira, já que esse ponto encontrado está além da região que procuramos. Isso implica que um dos pontos de máximo ou mínimo vai estar em ( - 3 ,   9 ) e (3,9). Observe que usamos ± 3 por conta do módulo.

Passo 4

Precisamos analizar agora o trecho onde y = x 2 , x ≤ 3

f x , y = x 2 + x y + y 2

f x ,   x 2 = x 2 + x 3 + x 4

Tirando a derivada:

d f x , x 2 d x = 2 x + 3 x 2 + 4 x 3 = 0 → x = 0

Passo 5

O pontos críticos então serão:

f - 3 ,   9 ; f 3,9 ; f 0,0

Calculando o valor de cada:

f x , y = x 2 + x y + y 2

f - 3 ,   9 = - 3 2 + - 3 9 + 9 2 = 63

f 3,9 = 3 2 + 3.9 + 9 2 = 117

f 0,0 = 0 + 0 + 0 = 0

Então temos como ponto de máximo f 3,9 e mínimo f 0,0 .

Resposta

máximo f 3,9 e mínimo f 0,0

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