Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos Globais numa Região Fechada

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Enunciado

Seja f x , y = y 2 - 4 x 2 - 5 x + 6 + 5 x 2 - 8 x .

  1. Dados os pontos 2 , - 4 , 4,0 e 2,4 , decida quais deles são pontos de máximo local, de mínimo local, ou ponto de sela de f .
  2. Determine os valores de máximo e mínimo de f em D , em que D é a região do plano delimitada pelo retângulo de vértices - 7 , - 2 ,   0 , - 2 ,   0,2 e - 7,2 .

Passo 1

a) Pra gente decidir alguma coisa sobre esses pontos, precisamos, antes ver quais deles são pontos críticos, igualando a primeira derivada da função f a 0 . Depois encontramos as segundas derivadas nos pontos críticos, colocamos no determinante e vemos se são pontos de máximo, mínimo ou de sela.

Partiu derivar essa função!

Em relação a x , temos:

f x x , y = y 2 - 4 2 x - 5 + 10 x - 8

Em relação a y , temos:

f y x , y = 2 y x 2 - 5 x + 6

Como vamos precisar depois mesmo, calculemos de uma vez as segundas derivadas também ;) Só função polinomial mesmo, não custa nada:

f x x x , y = y 2 - 4 . 2 + 10

f y y x , y = 2 x 2 - 5 x + 6

f x y x , y = f y x x , y = 2 y 2 x - 5

Passo 2

E, para encontrar os pontos críticos, resolvemos o sistema que iguala as primeiras derivadas parciais a 0 :

y 2 - 4 2 x - 5 + 10 x - 8 = 0 2 y x 2 - 5 x + 6 = 0  

Veja que não vale a pena fazer nenhuma distributiva! Pela segunda equação, vemos que se y = 0 ela já da 0 .

Também, se x 2 - 5 x + 6 = 0 , então ela toda da 0 . Para saber os valores de x , só resolver a equação do segundo grau!

x 2 - 5 x + 6 = 0

x = 5 ± 25 - 4.1 . 6 2

x = 5 ± 1 2

x = 2   o u   x = 3

Então vemos que colocando y = 0 , x = 2 ou x = 3 tornam a equação de baixo verdadeira!

Passo 3

Show! Mas esses valores resolvem nosso problema para a segunda equação, apenas. Para verificarmos se eles são válidos, temos que substituir cada x e cada y na primeira equação, e tentar encontrar o valor da outra coordenada.

Por exemplo, se colocarmos y = 0 na primeira equação:

0 2 - 4 2 x - 5 + 10 x - 8 = 0

- 8 x + 20 + 10 x - 8 = 0

2 x + 12 = 0

x = - 6

Então temos que o ponto P 0 = - 6,0 é um ponto crítico da função!

Agora, tentemos colocar x = 2 na primeira equação, para encontrar o y correspondente:

y 2 - 4 2.2 - 5 + 10.2 - 8 = 0

- y 2 + 4 + 20 - 8 = 0

- y 2 - 16 = 0

y = ± 4

Pronto! Se colocamos x = 2 , y pode ser ± 4 que a equação se torna verdadeira. Assim, temos mais dois pontos críticos, P 1 = 2,4 e P 2 = 2 , - 4

Por último, vamos fazer para x = 3 na primeira equação:

y 2 - 4 2.3 - 5 + 10.3 - 8 = 0

y 2 - 4 + 30 - 8 = 0

y 2 = - 18

Como estamos trabalhando apenas com números reais, dizer que y 2 é menor do que 0 não rola XD Então vemos que colocar x = 3 não é uma opção par ao nosso sistema!

Assim, dentre os pontos dados pelo enunciado, 2,4 e 2 , - 4 são pontos críticos, e 4,0 não é.

Passo 4

Perfeito! Agora que temos os pontos críticos, podemos colocar no determinante:

H P = f x x P f x y P f y x P f y y P

Que é:

H P = y 2 - 4 . 2 + 10 2 y 2 x - 5 2 y 2 x - 5 2 x 2 - 5 x + 6

Como o enunciado pede apenas para os pontos que ele deu, colocaremos os pontos P 1 e P 2 no determinante. Começando pelo P 1 :

H P 1 = 4 2 - 4 . 2 + 10 2.4 2.2 - 5 2.4 2.2 - 5 2 2 2 - 5.2 + 6

H P 1 = 34 × 0 - 8 × 8 = - 64 < 0  

Agora fazendo o mesmo para o P 2 :

H P 1 = - 4 2 - 4 . 2 + 10 2 . - 4 2.2 - 5 2 . - 4 2.2 - 5 2 2 2 - 5.2 + 6

H P 1 = 34 × 0 - - 8 × - 8 < 0

Como ambos os determinantes deram menos que 0 , tanto P 1 quanto P 2 são pontos de sela :D

Passo 5

b) Essa questão é quase igual a primeira, só que com um domínio metido da história. Nesses casos, não precisamos usar LaGrangre, pois não é uma outra função que limita a f x , y . Sabemos que, nesse domínio D , ou os pontos de máximo e mínimo serão pontos críticos de f que estejam dentro de D , ou estarão na borda do retângulo.

Da letra a , temos que o único ponto dentro do retângulo que ainda pode ser um máximo ou mínimo é o ponto P 0 = - 6,0 .

Agora só precisamos ver os valores de f x , y nos vértices do retângulo e nos pontos críticos de f x , y exatamente sobre cada borda! Lembrando que seus vértices são - 7 , - 2 ,   0 , - 2 ,   0,2 e - 7,2 , podemos definir parametrizar as seguintes retas para o domínio D :

A que liga os pontos - 7 , - 2 e 0 , - 2 , tem altura y = - 2 constante, e x varia entre - 7 e 0 . Então, temos

σ 0 t = t , - 2 ,   t ∈ - 7,0

A que liga os pontos 0 , - 2 e 0,2 , tem x = 0 constante, e y varia entre - 2 e 2 . Então, temos

σ 1 t = 0 , t ,   t ∈ - 2,2

A que liga os pontos 0,2 e - 7,2 , tem altura y = 2 constante, e x varia entre - 7 e 0 . Então, temos

σ 2 t = t , 2 ,   t ∈ - 7,0

A que liga os pontos - 7,2 e - 7 , - 2 , tem x = - 7 constante, e y varia entre - 2 e 2 . Então, temos

σ 3 t = - 7 , t ,   t ∈ - 2,2

Passo 6

Agora temos que parametrizar f x , y de acordo com essas retas, pois elas são a projeção dos valores da superfície formada por f no plano x y . Então, derivamos a expressão de f σ t em relação a t e vemos quais possíveis pontos críticos temos na curva que pertence a f cuja projeção em x y é a reta σ t em questão, pegou a ideia?

Além disso, no final, devemos verificar o valor de f x , y nos quatro vértices do retângulo, pois mesmo encontrando os pontos críticos de f σ t , não é garantia de que eles sejam pontos de máximo ou mínimo globais, tomando como espaço o domínio D .

Sem mais enrolação, partiu parametrizar f x , y ! Para a curva σ 0 t = t , - 2 , pegamos f e, onde tiver x colocamos t , e onde tiver y colocamos - 2 . A parametrização fica:

f x , y = y 2 - 4 x 2 - 5 x + 6 + 5 x 2 - 8 x

f σ 0 t = - 2 2 - 4 t 2 - 5 t + 6 + 5 t 2 - 8 t

f σ 0 t = 0 t 2 - 5 t + 6 + 5 t 2 - 8 t

f σ 0 t = 5 t 2 - 8 t

Derivando, teremos:

f ' σ 0 t = 10 t - 8

Para encontra o ponto crítico, igualamos a derivada a 0 ,

10 t - 8 = 0

t = 4 5

Mas veja, esse ponto não está sobre o domínio que o retângulo estabelece! Então, como o ponto crítico está fora do retângulo D , deixamos ele de lado.

Passo 7

Agora vamos parametrizar f x , y com a curva σ 1 t = 0 , t . Para isso, colocamos 0 onde aparecer x e t onde aparecer y . Fica assim:

f x , y = y 2 - 4 x 2 - 5 x + 6 + 5 x 2 - 8 x

f σ 1 t = t 2 - 4 0 2 - 5.0 + 6 + 5 . 0 2 - 8.0

f σ 1 t = t 2 - 4 . 6

Derivando teremos:

f ' σ 1 t = 2 t . 6

Igualando a 0   para encontrar o ponto crítico, teremos:

12 t = 0

t = 0

Show! Pelo limite estabelecido, t ∈ - 2,2 , ou seja, ele pode ser 0 ! Quando t = 0 , temos o ponto 0,0 na curva σ 1 t = 0 , t . Então no nosso catálogo de pontos para serem testados, temos mais um, o 0,0 .

Passo 8

Partiu parametrizar f x , y com a curva σ 2 t = t , 2 ,   t ∈ - 7,0 . Então, colocamos t onde aparecer x e 2 onde aparecer y . Fica assim:

f σ 2 t = 2 2 - 4 t 2 - 5 t + 6 + 5 t 2 - 8 t

Derivando teremos:

f ' σ 2 t = 10 t - 8

Igualando a 0   para encontrar o ponto crítico, teremos:

10 t - 8 = 0

t = 8 10

Como 8 10 é maior do que 0 , não está no domínio que limitamos!

Passo 9

Agora vamos parametrizar f x , y com a curva σ 3 t = - 7 , t ,   t ∈ - 2,2 . Para isso, colocamos - 7 onde aparecer x e t onde aparecer y . Fica assim:

f x , y = y 2 - 4 x 2 - 5 x + 6 + 5 x 2 - 8 x

f σ 3 t = t 2 - 4 - 7 2 - 5 . - 7 + 6 + 5 . - 7 2 - 8 . - 7

f σ 3 t = t 2 - 4 . 90 + 301

Derivando teremos:

f ' σ 3 t = 180 t

Igualando a 0   para encontrar o ponto crítico, teremos:

180 t = 0

t = 0

E, como t = 0 está entre - 2 e 2 (que são os limites para o parâmetro nesse segmento de reta), então é uma opção válida! Colocando t = 0 na parametrização, temos o ponto - 7,0 !

Passo 10

Agora é sair testando todos os pontos que encontramos! Os candidatos são 0,0 e - 7,0 , dentre os pontos sobre os segmentos do retângulo. Além deles, temos - 6,0 , que é um ponto crítico da superfície dentro do retângulo, e os próprios vértices do retângulo, que são - 7 , - 2 ,   0 , - 2 ,   0,2 e - 7,2 .

Então, bora jogar cada um na função e ver qual é o maior e qual o menor!

Colocando o ponto 0,0 em f x , y = y 2 - 4 x 2 - 5 x + 6 + 5 x 2 - 8 x , temos:

f 0,0 = 0 2 - 4 0 2 - 5.0 + 6 + 5 . 0 2 - 8.0

= - 24

Colocando o ponto - 7,0 em f x , y , temos:

f - 7,0 = 0 2 - 4 - 7 2 - 5 . - 7 + 6 + 5 . - 7 2 - 8 . - 7

= - 59

Colocando o ponto - 6,0 em f x , y , temos:

f - 6,0 = 0 2 - 4 - 6 2 - 5 . - 6 + 6 + 5 . - 6 2 - 8 . - 6

= - 60

Colocando o ponto - 7 , - 2 em f x , y , temos:

- 7 , - 2 = - 2 2 - 4 - 7 2 - 5 . - 7 + 6 + 5 . - 7 2 - 8 . - 7

= 301

Colocando o ponto 0 , - 2 em f x , y , temos:

0 , - 2 = - 2 2 - 4 0 2 - 5.0 + 6 + 5 . 0 2 - 8.0

= 0

Colocando o ponto 0,2 em f x , y , temos:

0,2 = 2 2 - 4 0 2 - 5.0 + 6 + 5 . 0 2 - 8.0

= 0

Colocando o ponto - 7,2 em f x , y , temos:

- 7,2 = 2 2 - 4 - 7 2 - 5 . - 7 + 6 + 5 . - 7 2 - 8 . - 7

= 301

E, vendo esses valores, o máximo da função é 301 , enquanto o mínio é - 60

Resposta

a) 2,4 e 2 , - 4 são pontos de sela

b) Em D , o máximo é 301 , e o mínimo é - 60

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