Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos Globais numa Região Fechada

Cálculo 2 UNICAMP, Exame 2014 Tarde, questão 2

Determine os valores máximo e mínimo absolutos de

f x , y = x 2 + y 2 + x 2 y + 4 ,

no conjunto D = x , y R 2   : x 1 ,   y 1 .

Passo 1

Antes de mais nada, é bom visualizar o conjunto D . E nesse caso, até que é bem simples: temos x 1 e y 1 . Então - 1 x 1 e - 1 y 1 . D   vai ser um quadrado:

Dito isso, podemos continuar :)

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Passo 2

Essa é uma questão de máximos e mínimos, então o nosso primeiro reflexo tem que ser: achar as derivadas parciais de f e igualá-las a 0 para achar os pontos críticos de f . Então vamos lá:

f x , y = x 2 + y 2 + x 2 y + 4

Logo:

f x x , y = 2 x + 0 + 2 x y + 0 = 2 x ( 1 + y )

f y x , y = 0 + 2 y + x 2 + 0 = 2 y + x ²

Agora igualando a 0 :

f x x , y = 0

2 x 1 + y = 0

x = 0     o u     1 + y = 0 y = - 1

f y x , y = 0

2 y + x 2 = 0

x 2 = - 2 y

  x = ± - 2 y

  • Se x = 0 , como x = ± - 2 y então y = 0 ; o que nos dá o ponto ( 0,0 ) .
  • Se y = - 1 então x = ± 2 ; o que nos dá os pontos 2 , - 1 ,   - 2 , - 1 .

Mas repare que esses dois últimos pontos não pertencem ao quadrado D . Logo, o único ponto crítico de f em D é ( 0,0 ) .

Passo 3

Agora vamos dar uma olhada na fronteira do quadrado. Podemos notar que os vértices do quadrado são candidatos a máximo e mínimo, pois eles são os extremos da região. Isso nos dá mais 4 candidatos: os pontos ( - 1,1 ) , ( 1,1 ) , ( 1 , - 1 ) e ( - 1 , - 1 ) .

Vamos analisar agora os lados do quadrado um por um. Repare que vamos sempre ter uma coordenada variando de -1 a 1 enquanto outra fica fixada. Ou seja, na borda do quadrado a f só depende de uma variável.

Por isso, pra facilitar nossa conta, vamos criar uma função de uma variável para cada lado e determinar os pontos críticos dessas funções. Esses pontos críticos também vão ser candidatos a máximo ou mínimo da f   no quadrado. Ficou confuso? Relaxa que não é tão complicado, dá uma olhada:

Passo 4

Lado 1: - 1 < x < 1 e y = 1

f 1 x = f x , 1 = x 2 + 1 2 + x 2 . 1 + 4 = 2 x 2 + 5

f 1 ' x = 4 x = 0   x = 0

f 1 tem um ponto crítico: o ponto ( 0,1 ) , que é, portanto, mais um candidato a ponto de máximo ou mínimo.

Lado 2: x = 1 e - 1 < y < 1

f 2 y = f 1 , y = 1 2 + y 2 + 1 2 y + 4 = y 2 + y + 5

f 2 ' y = 2 y + 1 = 0   y = - 1 2

Assim, obtemos mais um candidato, o ponto 1 , - 1 2 .

Lado 3: - 1 < x < 1 e y = - 1

f 3 x = f x , - 1 = x 2 + - 1 2 + x 2 - 1 + 4 = 5

A função f 3 é consante então para todo x   ] - 1,1 [ vamos ter f 3 ' x = 0 .

Então, o lado 3 todo é candidato a conter o valor máximo ou mínimo de f no quadrado. Já tínhamos considerado como candidatos os vértices ( - 1 , - 1 ) e ( 1 , - 1 ) . Mas agora podemos considerar todos os pontos ( x , - 1 ) , com x [ - 1,1 ] , beleza?

Lado 4: x = - 1 e - 1 < y < 1

f 4 y = f - 1 , y = - 1 2 + y 2 + - 1 2 y + 4 = y 2 + y + 5

Repare que f 4 y = f 2 ( y ) . Então, que nem pra f 2 , vamos ter que o ponto crítico de f 4 tem y = - 1 2 . Mas agora x = - 1 . Isso nos dá mais um candidato, o ponto - 1 , - 1 2 .

Passo 5

Show! Achamos todos os candidatos a ponto de máximo ou mínimo de f no quadrado, são os pontos:

0,0

- 1,1

1,1

x , - 1   c o m   x - 1,1  

0,1

1 , - 1 2

- 1 , - 1 2

Agora "só" nos resta calcular o valor da f em cada ponto e ver qual vai ser o máximo e qual vai ser o mínimo! Lembrando que f x , y = x 2 + y 2 + x 2 y + 4 , vamos ter:

Comparando os valores, podemos ver que o valor mínimo é 4 , no ponto ( 0,0 ) , enquanto o valor máximo é 7 , nos pontos ( - 1,1 ) e ( 1,1 ) .

Resposta

Máximo: 7 , nos pontos - 1,1 e ( 1,1 )

Mínimo: 4 , no ponto ( 0,0 ) .

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