Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos Globais numa Região Fechada

Ver Teoria

Enunciado

Questão 5 – Considere a função f x , y = x 4 + y 4 - 2 x 2 - 2 y 2 .

a) Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem.

b) Determine os pontos de sela, de máximo e mínimo locais, se existirem, preenchendo a tabela abaixo

c) Determine os pontos de mínimo e máximo absolutos de f x , y na região interna delimitada (fronteira inclusa) pela curva abaixo, cuja equação é x 4 + y 4 - 2 y 2 = 2 .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nessa questão, temos algumas coisas a fazer e temos que usar como instrumento a função f dada por f x , y = x 4 + y 4 - 2 x 2 - 2 y 2 .

Primeiramente foi pedido para obter as derivadas parciais de f de primeira e segunda ordem.

Depois vamos ter que obter os pontos críticos e classifica-los como pontos de máximo, mínimo ou de sela preenchendo a tabela dada no enunciado.

E por último, temos que determinar os pontos de máximo e mínimo absolutos que estão dentro da região limitada pela equação x 4 + y 4 - 2 y 2 = 2 .

Haja contas, não é? 👀

Bora começar!

Passo 2

No item a) temos que calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de f . No caso f x , f y , f x y , f y x , f x x e f y y

Primeiro vamos obter as derivadas parciais com relação a x .

Derivando f com relação a x , temos

f x = ∂ x 4 + y 4 - 2 x 2 - 2 y 2 ∂ x

Aplicando o método de derivação polinomial

f x = 4 · x 4 - 1 + 0 y 4 - 2 · 2 x 2 - 1 - 0 2 y 2

Simplificando o resultado, temos

f x = 4 x 3 - 4 x

Agora derivando f x com relação a y vamos obter a derivada mista f x y

f x y = ∂ 4 x 3 - 4 x ∂ y

Como não temos y em f x , a derivada f x y resulta em

f x y = 0

Agora vamos obter a derivada de segunda ordem f x x derivando f x com relação a x

f x x = ∂ 4 x 3 - 4 x ∂ x

Pelo método de derivação polinomial, temos

f x x = 3 · 4 x 3 - 1 - 4 x 1 - 1

f x x = 12 x 2 - 4

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Agora vamos obter as derivadas de y .

Derivando f com relação a y , vamos ter

f y = ∂ x 4 + y 4 - 2 x 2 - 2 y 2 ∂ y

Pelo método da derivação polinomial

f y = 0 x 4 + 4 · y 4 - 1 - 0 2 x 2 - 2 · 2 y 2 - 1

f y = 4 y 3 - 4 y

Vamos obter a derivada mista f y x derivando f y com relação a x , veja só

f y x = ∂ 4 y 3 - 4 y ∂ x

Como também não temos x para derivar aqui, o resultado é igual a

f y x = 0

E por último, vamos obter a derivada de segunda ordem f y y derivando f y com relação a y de novo.

f y y = ∂ 4 y 3 - 4 y ∂ y

Aplicando o método de derivação polinomial

f y y = 3 · 4 y 3 - 1 - 4 y 1 - 1

f y y = 12 y 2 - 4

Dessa forma, obtemos todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de f !

Interessante, não é? 😁

Passo 4

Agora, para o item b), temos que obter os pontos críticos de f e classifica-los como máximo, mínimo ou sela.

Os pontos críticos da função são obtidos igualando f x e f y a 0 , ou seja

4 x 3 - 4 x = 0 4 y 3 - 4 y = 0

Simplificando esse sistema dividindo os dois lados da igualdade por 4 , temos

x 3 - x = 0 y 3 - y = 0

x 3 = x y 3 = y

Para quais valores de x e y que tal número elevado ao cubo é igual a ele mesmo?? 🤔🤔

No caso, temos três valores que se encaixam nessa descrição, não é?

x = 0 ,   1 ,   - 1 y = 0 ,   1 ,   - 1

Portando os pontos críticos serão as combinações dessas coordenadas.

P 1 = 0,0 , P 2 = 0,1 , P 3 = 0 , - 1 , P 4 = 1,0 , P 5 = 1,1 , P 6 = 1 , - 1 , P 7 = - 1,0 , P 8 = - 1,1 e por fim P 9 = - 1 , - 1 .

Muitos pontos, não é?? 👀👀

Na tabela, a primeira coluna é o ponto crítico que encontramos, no caso P 1 , P 2 ...

A segunda coluna diz respeito ao valor da função no ponto, ou seja, a imagem do ponto em f .

A terceira coluna é o valor de D P n onde D é dado pelo determinante da matriz

D = f x x f x y f y x f y y = f x x · f y y - f x y · f y x

Substituindo as derivadas pelas suas equações, temos

D = 12 x 2 - 4 12 y 2 - 4 - 0 0

D = 12 x 2 - 4 12 y 2 - 4

A quarta coluna é o valor do ponto aplicado na segunda derivada de f com relação a x

E por último, a quinta coluna é a nossa conclusão se o ponto é máximo, mínimo ou de sela.

Entendeu? Vamos começar na ordem dos pontos!

Passo 5

Para o ponto P 1 = 0,0 , a imagem na função f resulta em

f x , y = x 4 + y 4 - 2 x 2 - 2 y 2

f 0,0 = 0 4 + 0 4 - 2 0 2 - 2 0 2 = 0

Aplicando o ponto 0,0 em D , temos

D 0,0 = 12 0 2 - 4 12 0 2 - 4

D 0,0 = 16

Aplicando o ponto na segunda derivada de f com relação a x

f x x 0,0 = 12 0 2 - 4 = - 4

Como D é maior que 0 e f x x é menor que 0 , o ponto P 1 é classificado como ponto máximo!

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 6

Agora vamos fazer o mesmo para o ponto P 2 = 0,1 .

Obtendo a imagem do ponto na função f , temos

f 0,1 = 0 4 + 1 4 - 2 0 2 - 2 1 2

f 0,1 = - 1

Aplicando P 2 em D

D 0,1 = 12 0 2 - 4 12 1 2 - 4

D 0,1 = - 32

Calculando a segunda derivada de f em x no ponto

f x x 0,1 = 12 0 2 - 4 = - 4

Dessa forma, como D foi menor que 0 , podemos afirmar que P 2 é um ponto de sela!

Bacana, não é? 😁

Passo 7

Para o ponto P 3 = 0 , - 1 .

Calculando a imagem na função f

f 0 , - 1 = 0 4 + - 1 4 - 2 0 2 - 2 - 1 2

f 0 , - 1 = - 1

Aplicando em D

D 0 , - 1 = 12 0 2 - 4 12 - 1 2 - 4

D 0 , - 1 = - 32

E em f x x o ponto resulta

f x x 0 , - 1 = 12 0 2 - 4 = - 4

Da mesma forma que o ponto anterior, D resultou em um nomero menor que 0 , então certamente P 3 é ponto sela!

Está acompanhando? 👀

Passo 8

Como já vimos como fazemos, podemos substituir os resultados diretamente na tabela.

Mas de forma geral, se D > 0 e f x x > 0 , o ponto é classificado como mínimo, se D > 0 e f x x < 0 , o ponto é classificado como ponto máximo e se D < 0 o ponto é classificado como ponto sela.

Interessante, não é? 🤩

Passo 9

Por fim, vamos obter os pontos de máximo e mínimo dentro da região limitada pela equação x 4 + y 4 - 2 y 2 = 2 .

Olhando para a nossa função f

f x , y = x 4 + y 4 - 2 x 2 - 2 y 2

Percebemos que a equação está contida na função, ou seja

f x , y = x 4 + y 4 - 2 y 2 - 2 x 2

A parte entre parênteses não é exatamente o lado esquerdo da equação? Então se o lado esquerdo é igual a 2 , reescrevemos a função como

f x , y = 2 - 2 x 2

Obtendo as derivadas parciais da nova função, temos

f x = ∂ 2 - 2 x 2 ∂ x

f y = ∂ 2 - 2 x 2 ∂ y

Pelo método de derivação polinomial, vamos obter a derivada de f com relação a x e como f não tem y , a derivada com relação a y é igual a 0 .

f x = 0 2 - 2 · 2 x 2 - 1 = - 4 x

f y = 0

Relaxa, estamos acabando! 😉

Passo 10

Igualando as derivadas a 0 , temos

- 4 x = 0 0 = 0

Assim, vemos que

x = 0

Fazendo x = 0 em f , temos

f 0 , y = 2 - 2 0 2 = 2

Portanto, temos um único valor que y não influencia no resultado.

Se analisarmos os pontos obtidos no item a), vemos que toso eles estão contidos dentro da região do item c).

Comparando os resultados das imagens dos pontos críticos com a imagem que obtemos em x = 0 na borda da região, vemos que

O ponto máximo é o ponto x = 0 que está na borda da região e os pontos mínimos, são os pontos 1,1 , 1 , - 1 , - 1,1 e - 1 , - 1 em que a imagem é - 2 .

Finalmente chegamos ao fim!!

E todos viveram felizes para sempre! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

a) f x = 4 x 3 - 4 x , f x y = 0 , f x x = 12 x 2 - 4 , f y = 4 y 3 - 4 y , f y x = 0 e f y y = 12 y 2 - 4

b)

c) Ponto máximo x = 0 contido em x 4 + y 4 - 2 y 2 = 2 , cuja imagem é 2 .

Ponto mínimo em 1,1 , 1 , - 1 , - 1,1 e - 1 , - 1 em que a imagem é - 2 .

Exercícios de Livros Relacionados

Entre todos os triângulos de perímetro igual a 10 cm, encontrar o que tem maior área
Dada a função z = a x 2 + b y 2 + c , analisar os pontos críticos, considerando que:a) a0 e b0 .