Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos Globais numa Região Fechada

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Enunciado

Considere a função f   : R 2 → R   definida por

f x , y = A x 2 + y e y

Onde A é uma constante real não nula.

  1. Encontre os pontos críticos de f
  2. Determine os pontos de máximo, mínimo e sela da função dada.
  3. Faça A = - 1 e determine os valores de máximo e mínimo absolutos de f na região compacta

K = x , y ∈ R   ; 0 ≤ y ≤ x 2 ,   0 ≤ x ≤ 1

Passo 1

a )

Para obter os pontos críticos, precisamos calcular as derivadas parciais e igualá-las a zero.

f x , y = A x 2 + y e y

f x = 2 A x e y

f y = 1 . e y + A x 2 + y e y

Igualando isso a zero, ficamos com o sistema:

2 A x e y = 0   e y + A x 2 + y e y = 0

Passo 2

Vamos resolver esse sistema.

Como A ≠ 0 e e y ≠ 0 , da primeira equação, temos que

x = 0

Substituindo na segunda equação:

e y + A . 0 2 + y e y = 0

e y 1 + y = 0

1 + y = 0

y = - 1

Assim, nosso único ponto crítico é o ponto 0 , - 1 .

Passo 3

b )

Vamos analisar que tipo de ponto crítico é este:

P 0 = 0 , - 1

Calculando derivadas segundas:

f x x = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x = ∂ ∂ x 2 A x e y = 2 A e y

f y y = ∂ ∂ y ∂ f ∂ y = ∂ ∂ y e y + A x 2 + y e y = e y + e y + A x 2 + y e y = 2 e y + A x 2 + y e y

f x y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y = ∂ ∂ x e y + A x 2 + y e y = 2 A x e y

Passo 4

Calculando essas derivadas no ponto P 0 = 0 , - 1 :

f x x P 0 = 2 A e - 1

f y y P 0 = 2 e - 1 + A . 0 2 - 1 e - 1 = 2 e - 1 - e - 1 = e - 1

f x y P 0 = 2 A . 0 . e - 1 = 0

Passo 5

Calculando H P 0 :

H P 0 = f x x P 0 f x y P 0 f y x P 0 f y y P 0

⇒ H P 0 = 2 A e - 1 0 0 e - 1

⇒ H P 0 = 2 A e - 1 e - 1 - 0 0

⇒ H P 0 = 2 A e - 2

Para saber se isso aí é positivo ou negativo, temos que analisar o sinal de A .

Se A > 0 ⇒ H P 0 > 0   e   f x x 0 , - 1 > 0 ⇒ m í n i m o   l o c a l

Se A < 0 ⇒ H P 0 < 0   ⇒ p o n t o   d e   s e l a .

Passo 6

c )

Para encontrar os pontos de máximo e mínimo globais de uma função com restrição o processo é sempre o mesmo: Verificar se há um ponto crítico dentro da região, e verificar se há máximos e mínimos na fronteira da região.

Como o ponto crítico ( 0 , - 1 ) , encontrado na letra a , está fora da região K , só nos resta verificar a fronteira da região K .

As fronteiras da nossa região são:

L 1 → y = 0   e   0 ≤ x ≤ 1

L 2 → x = 1   e   0 ≤ y ≤ 1

L 3 → y = x 2 e   0 ≤ x ≤ 1

Em cada lado a função só depende de uma variável, e nós temos que achar os pontos críticos dessas 3 “subfunções”.

Passo 7

Comecemos pelo lado L 1 . Lembrando a nossa função:

f x , y = - x 2 + y e y

E o primeiro lado:

L 1 → y = 0   e   0 ≤ x ≤ 1

Substituindo o lado na função:

f x , 0 = - x 2 + 0 e 0 = - x ²

Temos que achar o valor de máximo dessa função, vamos derivar e igualar a zero. Neste caso derivamos em relação a x

- 2 x = 0

x = 0

Então temos pontos críticos em

0,0

( 1,0 )

Passo 8

Agora precisamos fazer o mesmo pro segundo lado L 2 :

L 2 → x = 1   e   0 ≤ y ≤ 1

Substituindo esse lado na função, teremos:

f 1 , y = 1 + y 3 - 3 - 3 y

Desenvolvendo,

f 1 , y = - 1 2 + y e y

Temos que achar os pontos críticos dessa função, vamos derivar e igualar a zero. Neste caso derivamos em relação a y

- e y + e y + y e y = 0

y e y = 1

y = 1

Então temos o ponto

1,1

Passo 9

Vamos verificar para o terceiro lado L 3 :

L 3 → y = x 2 e   0 ≤ x ≤ 1

Substituindo-o na função:

f x , x ² = - x 2 + x ² e x ² = 0

Logo, sobre L 3 a função é constante e igual a zero.

Passo 10

Ok, agora já temos todo o material necessário para terminar de vez com isso e dizer quais são os pontos de máximo e mínimo!

Os nossos candidatos são os pontos:

( 0,0 )

( 1,0 )

1 ,   1

Passo 11

Só nos resta calcular o valor da função em cada ponto. Lembrando que

f x , y = - x 2 + y e y

Então temos

f 0 , 0 = - 0 2 + 0 e 0 = 0

f 1 ,   0 = - 1 2 + 0 e 0 = - 1

f 1 , 1 = - 1 2 + 1 e 1 = 0

f L 3 = 0

Isso significa que todos os pontos de L 3 são pontos de máximo absoluto de f , onde ela assume valor zero e o ponto ( 1,0 ) é ponto de mínimo absoluto, onde a função assume valor -1.

Resposta

  1. ( 0 , - 1 )
  2. Se A > 0 ⇒ H P 0 > 0   e   f x x 0 , - 1 > 0 ⇒ m í n i m o   l o c a l
  3. Se A < 0 ⇒ H P 0 < 0   ⇒ p o n t o   d e   s e l a .

  4. Todos os pontos de L 3 são pontos de máximo absoluto de f , onde ela assume valor zero e o ponto ( 1,0 ) é ponto de mínimo absoluto, onde a função assume valor -1.

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