Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos Globais numa Região Fechada

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Enunciado

Considere o quadrado

R = x , y ∈ R 2   : 0 ≤ x ≤ 4     e   0 ≤ y ≤ 4

E a função

f x , y = x 3 3 - 2 x y + y 3 3

Definida em R .

  1. Determine os valores máximo e mínimo de f na fronteira de R .
  2. Determine os valores máximo e mínimo de f em R .

Passo 1

a )

Para analisar os máximos e mínimos da função na fronteira da região, vamos definir os lados a serem verificados.

Temos 4 lados:

Quando L 1 → x = 0 ;   0 ≤ y ≤ 4 L 2 → x = 4 ;   0 ≤ y ≤ 4 L 3 → y = 0 ;           0 ≤ x ≤ 4 L 4 → y = 4 ;   0 ≤ x ≤ 4 em que L 1 ,   L 2 ,   L 3 ,   L 4 são os lados do quadrado.

Em cada lado a função só depende de uma variável, e nós temos que achar os pontos críticos dessas 4 “subfunções”.

Passo 2

Comecemos pelo lado L 1 . Lembrando a nossa função:

f x , y = x 3 3 - 2 x y + y 3 3

E o primeiro lado:

L 1 → x = 0 ;   0 ≤ y ≤ 4

Substituindo o lado na função:

f 0 , y = y 3 3

Temos que achar o valor de máximo dessa função, vamos derivar e igualar a zero. Neste caso derivamos em relação a y

3 y 2 3 = 0

y 2 = 0

y = 0

Então temos o ponto crítico

0,0

E nesse ponto a função assume o valor

f 0,0 = 0

Que é seu valor mínimo

Pois quando x = 0 e y = 4 ela vale

f 0 , 4 = 4 3 3 = 64 3

Que é seu valor máximo.

Passo 3

Agora precisamos fazer o mesmo pro segundo lado L 2 :

L 2 → x = 4 ;   0 ≤ y ≤ 4

Substituindo esse lado na função, teremos:

f 4 , y = 4 3 3 - 8 y + y 3 3

Desenvolvendo,

f 4 , y = 64 3 - 8 y + y 3 3

Temos que achar os pontos críticos dessa função, vamos derivar e igualar a zero. Neste caso derivamos em relação a y

3 y 2 3 - 8 = 0

y 2 = 8

y = + 8 = ± 2 2

(porque o y ≥ 0 )

Então temos o ponto

4 , 2 2

E nesse ponto a função vale:

f 4,2 2 = 4 3 3 - 16 2 + 2 2 3 3 = 64 3 - 16 2 + 16 2 3

f 2 , 2 = 32 3 2 - 2

E quando x = 4 e y = 4 ela vale

f 4,4 = 4 3 3 - 2.4 . 4 + 4 3 3 = 32 3

E em x = 0 e y = 4 ela vale

f 0,4 = 4 3 3 = 64 3

Assim, como

32 3 2 - 2 < 32 3 < 64 3

f 2 , 2 = 32 3 2 - 2 é o valor mínimo de f no lado 2 e f 0 , 4 = 64 3 é o valor máximo de f em L 2 .

Passo 4

Vamos verificar para o terceiro lado L 3 :

L 3 → y = 0   ;   0 ≤ x ≤ 4

Substituindo-o na função:

f x , 4 = x 3 3

Repara que temos o mesmo caso que temos no lado L 1 , mas agora em função de x .

Assim, a análise desse lado é igualzinha a do lado 1, portanto, o valor mínimo é

f 0,0 = 0

E o valor máximo ocorre no extremo, quando y = 0 e x = 2 ela vale

f 4 , 0 = 4 3 3 = 64 3

Passo 5

Ultimo lado agora!

L 4 → y = 4   ; 0 ≤ x ≤ 4

Substituindo-o na função:

f x , 4 = x 3 3 - 8 x + 4 3 3

Desenvolvendo,

f x , 2 = x 3 3 - 8 x + 64 3

E, mais uma vez, temos um caso bastaaaaaaante parecido com o que tínhamos lá no passo 3 quando estávamos analisando o lado 2. Só que agora estamos em função de x .

Dessa forma, a analise desse lado será igualzinho já fizemos e obteremos os mesmos pontos, só que com x e y trocados, assim, teremos:

2 2 , 4

E nesse ponto a função vale:

f 2 2 , 4 = 2 2 3 3 - 8 2 + 4 3 3

f 2 2 , 4 = 32 3 2 - 2

E quando x = 4 e y = 4 ela vale

f 4,4 = 4 3 3 - 2.4 . 4 + 4 3 3 = 32 3

E em x = 0 e y = 4 ela vale

f 0,4 = 4 3 3 = 64 3

Assim, como

32 3 2 - 2 < 32 3 < 64 3

f 2 2 , 4 = 32 3 2 - 2 é o valor mínimo de f no lado 2 e f 0,4 = 64 3 é o valor máximo de f em L 4 .

Passo 6

b )

Agora vamos determinar o máximo e mínimo de f em R , não só na fronteira.

Vamos precisar então considerar os pontos críticos de f que estão no INTERIOR de R .

Para isso, vamos calcular os pontos críticos né?

Calculando as derivadas parciais:

f x , y = x 3 3 - 2 x y + y 3 3

f x = 3 x 2 3 - 2 y

f y = 3 y 2 3 - 2 x

Passo 7

Igualando a zero:

f x = 3 x 2 3 - 2 y = 0

f y = 3 y 2 3 - 2 x = 0

Isolando o y na primeira equação, temos que

y = x 2 2

Substituindo na segunda:

x 2 2 2 - 2 x = 0

x 4 4 - 2 x = 0

x x 3 4 - 2 = 0

x = 0

Ou

x 3 4 - 2 = 0

x 3 = 2 ∙ 4 = 8

x = 2

E, como y = x 2 2 = 0 2 2 = 0

y = x 2 2 = 2 2 2 = 2

Portanto, temos dois pontos críticos:

( 0,0 )

( 2,2 )

MAAAAS, estamos interessaos apenas nos pontos críticos no interior de R . E desses dois pontos aí, apenas o ponto ( 2,2 ) está no INTERIOR do quadrado

R = x , y ∈ R 2   : 0 ≤ x ≤ 4     e   0 ≤ y ≤ 4

Então só ele nos interessa, beleza?

Passo 8

Calculando o valor de f no ponto ( 1,1 ) :

f x , y = x 3 3 - 2 x y + y 3 3

f 2,2 = 2 3 3 - 2.2 . 2 + 2 3 3 = - 8 3

Mas, não podemos esquecer também de toda a analise que já fizemos na letra a . Pois aqui na letra b queremos o máximo e mínimo na região R inteira, isto é, interior e fronteira. Acontece que fronteira a gente já analisou e já sabe que o valor máximo é 64 3 e o valor mínimo é 0 .

Mas aí agora, analisando dentro de R descobrimos que existe um valor mínimo menor do que o que a gente já tinha achado na fronteira.

Dessa forma, na região R INTEIRA, o valor máximo de f é 64 3 e o valor mínimo de f é - 8 3 .

Resposta

a )

L 1 → x = 0 ;   0 ≤ y ≤ 4

Valor mínimo: 0

Valor máximo: 64 3

L 2 → x = 4 ;   0 ≤ y ≤ 4

Valor mínimo: 32 3 2 - 2

Valor máximo: 64 3

L 3 → y = 0 ;           0 ≤ x ≤ 4

Valor mínimo: 0

Valor máximo: 64 3

L 4 → y = 4 ;   0 ≤ x ≤ 4

Valor mínimo: 32 3 2 - 2

Valor máximo: 64 3

b )

Na região R INTEIRA, o valor máximo de f é 64 3 e o valor mínimo de f é - 8 3 .

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