Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos Globais numa Região Fechada

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Enunciado

Considere a função f x , y = x 2 + cos ⁡ y .

  1. Determine os pontos críticos e classifique-os.
  2. Determine os pontos de máximo e mínimo absolutos da função f sobre o conjunto compacto K = x , y ∈ R 2 ; 0 ≤ x ≤ 1 ,       0 ≤ y ≤ π .

Passo 1

Vamos começar por obter os pontos críticos da nossa função f x , y . Mas o que são os pontos críticos? Como conseguimos determina-los?

Estes pontos são aqueles que fazem com que as derivadas parciais da nossa função f sejam iguais a zero. Isto é:

f x x , y = f y x , y = 0

Em outras palavras, podemos dizer que o gradiente de f é o vetor nulo. Logo, ∇ f x , y = 0,0 . Portanto, precisamos calculas as derivadas parciais da nossa função primeiramente. Logo,

f x x , y = 2 x

f y x , y = - sen ⁡ y

Lembrando que ao derivarmos parcialmente em relação a uma variável, consideramos as demais como constantes.

Da derivada parcial f x x , y = 2 x = 0 , obtemos que a coordenada x dos nossos pontos críticos devem ser iguais a 0! Já da análise da derivada parcial em relação a y , f y x , y = - sen ⁡ y = 0 , devemos tomar muito cuidado.

Os valores de y que fazem - sen ⁡ y = 0 são y = k π , onde k ∈ Z (número inteiro). Precisamos tomar cuidado para não pegarmos apenas os valores 0 e π !

Por fim, os pontos críticos possuem coordenadas 0 , k π , onde k ∈ Z .

Passo 2

Agora, vamos classificar os pontos críticos (identificar se são pontos de máximo, de mínio ou de sela). Para isto, precisamos calcular o hessiano de f . Relembrando, o hessiano é dado pelo determinante da seguinte matriz:

Δ = f x x x , y f x y x , y f y x x , y f y y x , y

Calculando as derivadas parciais de segunda ordem (derivar mais uma vez), temos: f x x x , y = 2 , f x y x , y = f y x x , y = 0 , f y y x , y = - cos ⁡ y . Portanto,

Δ = 2 0 0 - cos ⁡ y = - 2 cos ⁡ y

Agora, vamos precisar separar os nossos pontos críticos em duas metades. A primeira consiste nos pontos cujo valor de k é par. Já os outros consistem no valor de k ímpar.

Para os pontos cujo valor de k é par, temos:

Δ = - 2 cos ⁡ k π = - 2 ⋅ 1 = - 2 < 0

Como Δ < 0 , automaticamente, temos pontos de sela.

Já para os pontos cujo valor de k é ímpar, temos:

Δ = - 2 cos ⁡ k π = - 2 ⋅ - 1 = 2 > 0

Como Δ > 0 , podemos ter pontos de máximo ou de mínimo. Precisamos checar agora o sinal de f x x x , y . Como f x x = 2 > 0 , todos os pontos críticos com k ímpar são pontos de mínimo local!

Passo 3

Agora, precisamos determinar os máximos e mínimos absolutos da função f no conjunto compacto K = x , y ∈ R 2 ; 0 ≤ x ≤ 1 ,       0 ≤ y ≤ π .

Sabemos que estes pontos de máximos e mínimos existem, pois, a função f é contínua no conjunto fechado e limitado K . Sabemos também que estes pontos de máximo estão localizados nos pontos críticos (obtidos anteriormente) ou na fronteira de K .

Os pontos críticos que pertencem ao conjunto K são 0,0 e 0 , π . O valor da função f nesses pontos são f 0,0 = 1 e f 0 , π = - 1

Temos que analisar o comportamento da função f na fronteira de K . E, para isto, como a região K consiste em um retângulo, vamos dividir a nossa fronteira em 4 partes.

  1. x = 0 e 0 ≤ y ≤ π
  2. Ao substituirmos x = 0 na nossa função f x , y , vamos obter:

    f 0 , y = f y = cos ⁡ y

    Esta é uma função é decrescente no intervalo 0 ≤ y ≤ π . Portanto, possui máximo em y = 0 e mínimo em y = π , sendo os valores da função f 0,0 = 1 e f 0 , π = - 1

  3. x = 1 e 0 ≤ y ≤ π
  4. Ao substituirmos x = 1 na nossa função f x , y , vamos obter:

    f 1 , y = f y = 1 + cos ⁡ y

    Esta é uma função é decrescente no intervalo 0 ≤ y ≤ π . Portanto, possui máximo em y = 0 e mínimo em y = π , sendo os valores da função f 1 , 0 = 2 e f 1 , π = 0

  5. y = 0 e 0 ≤ x ≤ 1
  6. Ao substituirmos y = 0 na nossa função f x , y , vamos obter:

    f x , 0 = f x = x 2 + 1

    Esta é uma função é crescente no intervalo 0 ≤ x ≤ 1 . Portanto, possui mínimo em x = 0 e máximo em x = 1 , sendo os valores da função f 0,0 = 1 e f 1 , 0 = 2

  7. y = π e 0 ≤ x ≤ 1

Ao substituirmos y = π na nossa função f x , y , vamos obter:

f x , π = f x = x 2 - 1

Esta é uma função é crescente no intervalo 0 ≤ x ≤ 1 . Portanto, possui mínimo em x = 0 e máximo em x = 1 , sendo os valores da função f 0 , π = - 1 e f 1 , π = 0

O mínimo absoluto é obtido ao pegarmos o menor valor de f x , y calculado anteriormente e o máximo absoluto ao pegarmos o maior valor de f x , y calculado anteriormente. Portanto, o ponto de máximo global é 1,0 e o ponto de mínimo global é 0 , π

Resposta

  1. Os pontos críticos são 0 , k π , onde k ∈ Z . Para k par, os pontos são de sela. Já para k ímpar, temos pontos de mínimo local.
  2. O ponto de máximo global é 1,0 e o ponto de mínimo global é 0 , π .

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