Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos Globais numa Região Fechada

Ver Teoria

Enunciado

Sejam D = { x , y   ∈ R 2 : x 4 + 12 x y + 6 y 2 ≤ 6 } e f : R 2 → R , dada por f x , y = x + y . Se M e m são, respectivamente, os valores máximo e mínimo globais de f em D , então:

  1. 3 m + 2 M = 9
  2. 2 m + 4 M = 10
  3. 2 m + M = 8
  4. m + M = 11
  5. m + 3 M = 7

Passo 1

Fala povo, tudo certo?

Vamos encarar mais um problema de máximo e mínimos de funções de várias variáveis!! Mas fica tranquilo que a gente junto consegue resolver \o/

Primeiro passo é a gente identificar como que calculamos pontos críticos de uma função de múltiplas variáveis.

A gente precisa aplicar nosso famoso gradiente na função e igualar esse cara a zero, ou seja:

∇ f = 0,0

E o que é gradiente mesmo? É derivar a função em cada variável que ela tem. Como assim?

∇ f x , y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

Depois vamos precisar encontrar os pontos que zeram esse gradiente e por fim falar de matriz Hessiana.

Mas fica tranquilo e não se assusta! Vamos ver isso mais pra frente pra irmos com calma!

Passo 2

Vamos então calcular nosso gradiente!

Primeiro, vamos lembrar que a f x , y = x + y

Logo, o gradiente dessa função é dada por:

∇ f x , y = 1,1

Observe que não conseguimos então fazer a igualdade de ∇ f x , y = ( 0,0 ) , uma vez que já encontramos um valor de ( 1,1 ) . O que isso indica?

Indica que NÃO HÁ PONTOS CRÍTICOS de f em i n t D , assim procuramos extremos globais em D , show?

Passo 3

Vamos fazer o seguinte agora, vamos pegar D e deixar ele de forma homogênea, ou seja, vamos jogar tudo pra um mesmo lado da igualdade.

D = x 4 + 12 x y + 6 y 2 = 6

Por qual motivo eu fiz ali o sinal de se transformar em = ? Lembre-se que estamos procurando extremidades globais agora.

Vamos chamar de g x , y = x 4 + 12 x y + 6 y 2 - 6 .

Note também que ∂ D = g - 1 ( 0 ) , e por consequência temos que os extremantes devem satisfazer as duas condições a seguir:

∇ f x , y ,   ∇ g x , y → L i n e a r m e n t e   i n d e p e n d e n t e  

g x , y = 0

Passo 4

Da condição de não dependência linear, temos que:

∇ f x , y = λ ∇ g ( x , y )

Onde λ são os autovalores dessa igualdade. Essa igualdade é válida porque ∇ g ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) , para ( x , y ) ∈ D , ou ainda podemos dizer que o determinante deve ser igual a zero.

d e t   ∇ f ( x , y ) ∇ g ( x , y ) = 0

Para ambos os casos a gente consegue obter a relação de 2 x 2 x 2 - 6 = 0 e aí o sistema vai tomar a seguinte carinha:

2 x 2 x 2 - 6 = 0

x 4 + 12 x y + 6 y 2 = 6

Passo 5

Agora vamos encontrar os pontos de interesse para sabermos e conhecermos os valores de m e M .

x = 0 → y = ± 1

Como eu encontrei isso? Peguei o valor de x e substitui em x 4 + 12 x y + 6 y 2 = 6

Portanto, P 1 = ( 0,1 ) e P 2 = ( 0 , - 1 ) .

Para x = 12 2 → y = - 12 ± 10 2

Assim encontramos os pontos P 3 = 12 2 , - 12 + 10 2 e P 4 = 12 2 , - 12 - 10 2

Analogamente, temos que quando x = - 12 2 → 12 ± 10 2

Logo, os pontos são:

P 3 = - 12 2 , 12 + 10 2 e P 4 = - 12 2 , 12 - 10 2

Passo 6

Agora que encontramos os pontos, podemos substituir os mesmos na f x , y = x + y e verificar seus valores.

Logo,

f P 1 = f 0,1

f P 1 = 0 + 1 = 1

Analogamente, os outros pontos podem ser calculados e temos:

f P 2 = - 1

f P 3 = f P 5 = 10 2

f P 4 = f P 6 = - 10 2

O enunciado nos disse que M e m são os pontos de máximo e mínimo, respectivamente. Logo desses valores que encontramos de f pra cada ponto, quem tem o maior e menor valor?

m = - 10 2

M = 10 2

Logo,

2 m + 4 M = 10

UFFA! Deu a letra (b)!

Te espero no próximo desafio!!

Resposta

( b )

Exercícios de Livros Relacionados

Entre todos os triângulos de perímetro igual a 10 cm, encontrar o que tem maior área
Dada a função z = a x 2 + b y 2 + c , analisar os pontos críticos, considerando que:a) a0 e b0 .